0,3periodisch*0,3periodisch=0,9periodisch(bzw. =1)?

08.03.2016, 12:58

Whimsy

0,3periodisch*0,3periodisch=0,9periodisch(bzw. =1)?

Meine Frage:
_ _ _
Stimmt das, dass 0,3 x 0,3 das Ergebnis 0,9 = 1 ist???

Meine Ideen:
Ich glaube ja, bin mir aber nicht ganz sicher...

08.03.2016, 13:13

gast0803

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RE: 0,3periodisch x 0,3periodisch = 0,9periodisch (bzw. =1)???
$\begin{eqnarray*} 0,333....*0,333... = 1/3*1/3 =1/9 = 0,111.... \end{eqnarray*}$

14.03.2016, 18:09

trexi

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RE: 0,3periodisch x 0,3periodisch = 0,9periodisch (bzw. =1)???
vlt. meinte er: 0.3333... *3=0.9999...
Ist 0.9999... nun gleich 1 oder nur dessen Grenzwert?

Gruß

14.03.2016, 18:15

Guppi12

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Hallo trexi,

Zitat:

Ist 0.9999... nun gleich 1 oder nur dessen Grenzwert?

Ersteres. Letzteres macht auch garkeinen Sinn, was soll der Grenzwert einer Zahl sein? Folgen haben Grenzwerte (oder auch nicht) für Zahlen macht der Begriff keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} 0.9999.... \end{eqnarray*}$ ist per Definition genau der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} (0.9,0.99,0.999,0.9999,....) \end{eqnarray*}$ und dieser ist gleich $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

14.03.2016, 18:27

trexi

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na ja, ich hab´ da halt immer noch meine Probleme mit dem Unendlichen.
Neulich wurde ich aufgeklärt dass 1/x=0 für x-->oo so nicht stimmt, sondern dass nur der Grenzwert 0 ist.

Okay 1/x wird niemals 0, nähert sich für wachsende x-Werte der 0 aber immer näher an, deshalb "Grenzwert".

Aber 0.999... ist doch auch nie 1, ein bißchen fehlt immer ... weshalb muss ich hier nicht von dem Grenzwert reden?

Gruß

14.03.2016, 18:55

HAL 9000

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Alle Jahre wieder - hier mal ein älterer Jahrgang: www.matheboard.de/thread.php?threadid=415021

14.03.2016, 18:56

Guppi12

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$\begin{eqnarray*} 0.99999.... \end{eqnarray*}$ ist nach Definition bereits ein Grenzwert (nämlich jener, obiger Folge), da nochmal vom Grenzwert zu sprechen, wäre doppelt gemoppelt.

Deswegen ist auch diese Feststellung

Zitat:

Aber 0.999... ist doch auch nie 1, ein bißchen fehlt immer

Unsinn. Sie kommt nur von deiner intuitiven Vorstellung davon, was $\begin{eqnarray*} 0.999.. \end{eqnarray*}$ sein soll. Deine Vorstellung entspricht aber eben nicht der Definition. Nach Definition ist dieser Wert genau $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ (unabhängig davon, was die Intuition einem sagt).

Ob die Definition nun sinnvoll ist oder nicht, ist eine andere Frage. Sie mag nicht intuitiv sein, leistet aber alles, was man zum ordentlichen Rechnen mit solchen Zahlen braucht.

Edit: @HAL: Ich finde, in dem anderen Thread wird ein falsches Bild gezeichnet. Es gibt da nichts zu beweisen. Dass dort ständig von Beweisen dieses Sachverhalts geredet wird, verwirrt mehr, als es Verständnis fördert, warum die Identität wirklich gilt.

14.03.2016, 19:16

trexi

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okay, ist also alles nur eine Definitionssache.

ich definier halt mal 0,999... =1, und definier gleichzeitig 1/x ungleich 0 für x-->oo.

Klar, so kann ich mein Mathe-Weltbild retten ... aber wer soll das dann noch verstehen?

Ich kann doch auch nicht in der realen Welt einen Doppel-wopper von MacDonald, als gesundes Essen definieren ... nur weil sich dann alle weiteren Erklärungen entweder erübrigenn oder nicht mehr relevant sind.

14.03.2016, 19:28

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Guppi12
Edit: @HAL: Ich finde, in dem anderen Thread wird ein falsches Bild gezeichnet. Es gibt da nichts zu beweisen. Das dort ständig von Beweisen dieses Sachverhalts geredet wird, verwirrt mehr, als es Verständnis fördert, warum die Identität wirklich gilt.

Wieso nicht? Wenn du $\begin{eqnarray*} 0.\overline 9 \end{eqnarray*}$ als Grenzwert der obigen Folge definierst, musst du schon noch beweisen, dass diese Folge gegen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert (geometrische Reihe).

14.03.2016, 19:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von trexi
Ich kann doch auch nicht in der realen Welt einen Doppel-wopper von MacDonald, als gesundes Essen definieren ... nur weil sich dann alle weiteren Erklärungen entweder erübrigenn oder nicht mehr relevant sind.

Schwache Polemik mit nicht nur hinkenden, sondern komplett lahmen Analogien.

14.03.2016, 19:32

Guppi12

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Ja, schon. Aber wenn ich den Thread richtig überflogen habe (mehr habe ich nicht getan, kann sein, dass ich mich irre), dann wird nicht darauf eingegangen, dass es nur darum geht, nämlich zu beweisen, dass diese Folge gegen 1 konvergiert, nicht aber, dass der Rest dann Definition ist.

Es wird nicht deutlich, dass das zu 90% Definition und nur zu 10% Beweis ist.

14.03.2016, 20:16

005

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Zitat:

Original von trexi
okay, ist also alles nur eine Definitionssache.

ich definier halt mal 0,999... =1, ...

Beachte, dass die Interpretation von Dezimalbruechen bereits erklaert ist, z.B. ist

$\begin{eqnarray*} 3,2741=3+\frac{2}{10}+\frac{7}{10^2}+\frac{4}{10^3}+\frac{1}{10^4}. \end{eqnarray*}$

Wenn man mit dieser Erklaerung einen nichtabbrechenden Dezimalbruch angeht, etwa

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} = \frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots, \end{eqnarray*}$

dann stellt man fest, dass da was effektiv nicht machbares von einem verlangt wird: Man soll eine Summe aus unendlich vielen Summanden bilden. Das geht nicht, weil man damit nie fertig wird. Und wenn man das Problem pragmatisch dadurch loest, dass man einfach irgendwann aufhoert, weiter zu summieren, dann fehlt (wie Du so schoen sagst) immer was.

Aus diesem Dilemma gibt es zwei Auswege:

1) Du erklaerst $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ fuer einen Haufen sinnlosen Schrott, der nichts bedeutet.

2) Du gibst eine brauchbare Erklaerung ab, was denn ueberhaupt die Summe einer unendlichen Zahl von Summanden sein soll. Dazu bietet sich der Grenzwertbegriff der Analysis an.

$\begin{eqnarray*} 0,\overline{9}:=\lim_{n\to\infty}0,\underbrace{9\ldots9}_{\text{$n$ Neunen}}=\lim_{n\to\infty}(1-10^{-n})=1. \end{eqnarray*}$

Das sind so die zwei Optionen, die Du hast. Such Dir eine raus. Ohne Definition bleibt nur 1). Denn entegegen Deiner Vermutung hat $\begin{eqnarray*} 0,\overline{9} \end{eqnarray*}$ keinen eingebauten Sinn und auch keine eingebaute Bedeutung.

14.03.2016, 22:39

Guppi12

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Ein ausgezeichneter Beitrag meiner Meinung nach. Du bringst es perfekt auf den Punkt.

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0,3periodisch*0,3periodisch=0,9periodisch(bzw. =1)?

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