Kurvendiskussion mit mehreren Variablen

08.03.2016, 15:45

DannyNRW

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Kurvendiskussion mit mehreren Variablen

Hallo zusammen,
habe hier eine Aufgabe zum Thema Kurvendiskussion:
Gegeben ist folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2(x² + y²)² - 4(x²-y²) \end{eqnarray*}$

Wie bekomme ich hier die Nullstellen heraus? Sieht für mich erstmal schwer aus.
Die Extrema würde ich jetzt versuchen, durch getrennte Ableitungen von f(x) und f(y) zu finden. Hat hier jemand Tipps für mich?

08.03.2016, 16:45

DannyNRW

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Heisst hier das Zauberwort zufällig Tangentialebene?

08.03.2016, 16:48

klarsoweit

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In gewisser Weise. Was du für die Extrema brauchst, sind die kritischen Punkte, welche die Nullstellen der Gradienten sind.

08.03.2016, 17:20

DannyNRW

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Und wie genau berechne ich diese?
Partielle Ableitung bilden?

08.03.2016, 18:44

DannyNRW

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So, habe mir gerade ein wirklich schönes Video dazu angesehen und schreibe nun mal das "Rezept" auf, wie ich es verstanden habe:

- Zunächst wird jeweils die 1. Ableitung nach x bzw. y gebildet.
- Die beiden 1. Ableitungen werden =0 gesetzt und dann nach x, bzw. y aufgelöst, was mir die möglichen Kandidaten für lokale Extrema liefert.
- Nun werden die 2. Ableitungen gebildet (fxx, fyy, fxy, fyx)
- die Koordinaten der möglichen Kandidaten werden in alle 2. Ableitungen eingesetzt und daraus dann die Hesse-Matrix gebildet
- Aus den entstandenen Hesse-Matrizen wird die Determinante gebildet und daraus lässt sich dann ablesen, ob es sich um Sattelpunkte, Minima oder Maxima handelt.

08.03.2016, 18:53

DannyNRW

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Soweit sogut, hier nochmal die Ausgangsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2(x² + y²)² - 4(x² - y²) \end{eqnarray*}$

Nun also die 1. Ableitungen nach x bzw. y.

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dx} = 4(x² + y²) * 2x - 4(x² - y²) * 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dy} = 4(x² + y²) * 2y - 4(x² - y²) * 2y \end{eqnarray*}$

Sollte soweit passen, oder? Nun hänge ich allerdings fest. Wie baue ich mir die Terme um, dass ich das ganze jeweils nach x bzw. nach y auflösen kann, um die passenden Kandidaten der lokalen Extrema zu ermitteln?

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08.03.2016, 20:33

DannyNRW

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Kann mir vielleicht noch jemand zu diesem Schritt helfen? Ich glaube, sonst kann ich heute Nacht nicht schlafen. Wäre wirklich super, danke Euch.

08.03.2016, 21:05

NichtGanzNeo

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Zitat:

Original von DannyNRW

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dx} = 4(x² + y²) * 2x - 4(x² - y²) * 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dy} = 4(x² + y²) * 2y - 4(x² - y²) * 2y \end{eqnarray*}$

Kleiner Leichtsinnsfehler unterlaufen. $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} ( -4(x^2 - y^2)^1) = -4(x^2-y^2)^0*2x = -8x \end{eqnarray*}$
Analog für $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy} \end{eqnarray*}$ , bloß dass sich noch das Minuszeichen umdreht durch das $\begin{eqnarray*} -y^2 \end{eqnarray*}$

Dann erhältst du $\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dx} = 4(x² + y²) * 2x - 8x = 8x*((x^2+y^2) -1) \end{eqnarray*}$ und das wird nur im Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x^2 + y^2) = 1 \end{eqnarray*}$ null. Für $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dy} \end{eqnarray*}$ darfst du versuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

edit: -1 beim Ausklammern vergessen :P

08.03.2016, 21:29

DannyNRW

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Musste jetzt bestimmt 3x drüberschauen, um zu sehen, was Du meinst. Du meinst also, die zweite Klammer wird durch die Ableitung zu x^0 und damit fällt der gesamte Klammerausdruck weg. Da ist was dran, ja. Freude

Freude

Heißt das, ich muss dann im ersten Fall nur noch folgenden Ausdruck =0 setzen?

$\begin{eqnarray*} (x²+y²) \end{eqnarray*}$

08.03.2016, 21:39

NichtGanzNeo

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War wohl doch etwas verwirrender, als ich Gedacht hab Big Laugh

Big Laugh

Ich versuchs nochmal :P

Als (richtige) Ableitung nach x erhältst du ja

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dx} = 4(x² + y²) * 2x - 4(x^2 - y^2)^0*2x = 8x*(x² + y²) - 8x = 8x*((x^2+y^2) -1) \end{eqnarray*}$

Die willst du =0 setzen, also sei

$\begin{eqnarray*} 8x*(x^2+y^2 -1) = 0 \end{eqnarray*}$

dann folgt entweder

1. $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} (x^2 + y^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Das Selbe machst du dann mit der Ableitung nach y

08.03.2016, 22:12

DannyNRW

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Hier dann mal meine Ableitung für y:

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dy} = 4(x² + y²) * 2y - 4 * 2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dy} = 8y * (x² + y²) - 8y \end{eqnarray*}$

die 8y noch ausgeklammert, wie Du es auch gemacht hast...

$\begin{eqnarray*} \frac{df(x,y)}{dy} = 8y * (x² + y² -1) \end{eqnarray*}$

08.03.2016, 22:44

NichtGanzNeo

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Nicht ganz. Du hast nämlich einen Vorzeichenfehler gemacht. Die Ableitung von -y^2 ist nämlich -2y. Aber nochmal Schritt für Schritt:

Schau dir nochmal die Funktion an. Diese lautet ja

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 2(x^2 + y^2)^2 - 4(x^2 - y^2) \end{eqnarray*}$

Davon schauen wir uns wieder nur den Rechten Teil an (denn dort liegt dein Fehler), also

$\begin{eqnarray*} -4(x^2 - y^2) \end{eqnarray*}$

Abgeleitet nach y ergibt dieser:

$\begin{eqnarray*} -4*(x^2 - y^2)^0*(-2)y = +8y \end{eqnarray*}$

Wie dem Aufmerksamen Leser sofort klar wird, folgt also für die Ableitung der ganzen Funktion f(x,y) nach y:

$\begin{eqnarray*} \frac {df(x,y)}{dy}=8y(x^2+y^2) + 8y = 8y(x^2 + y^2 + 1) \end{eqnarray*}$

Du wirst sehen, dass ich nun am Ende ein "+1" stehen habe, und nicht wie du ein "-1".

08.03.2016, 22:58

DannyNRW

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Natürlich, klar... Hab's Minuszeichen übersehen.
Aber nochmal zu Deinem vorangegangenen Schritt, nämlich...

$\begin{eqnarray*} x² + y² = 1 \end{eqnarray*}$

Ich will ja eigentlich die Kandidaten ermitteln, wo sich lokale Extrema befinden könnten.
Kann ich jetzt hier einfach nach x umstellen und das y herumschieben, wie ich möchte?
Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} x² = 1 - y² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{1-y²} \end{eqnarray*}$

08.03.2016, 23:33

NichtGanzNeo

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THEORETISCH ja.
Aber dann auch richtig.

$\begin{eqnarray*} x^2 = 1- y^2<br /> \Leftrightarrow \sqrt {x^2} = \sqrt {1 - y^2}<br /> \Leftrightarrow |x| = \sqrt {1 - y^2}<br /> \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {1 - y^2} \end{eqnarray*}$

Wie du siehst bringt das aber nur Probleme. Praktisch geht das viel einfacher.
Da ich lieb bin,, geb ich dir hier einfach mal die Komplettlösung, ich hoffe du kannst sie nachvollziehen:

Wir haben zu Anfang gesagt, um die Extremalstellen zu finden, musst du die partiellen Ableitungen der Funktion bilden und gleich Null setzen. Das haben wir getan und daraus folgende Informationen erhalten:

Aus Ableitung nach x:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Aus der Ableitung nach y erhalten wir:
1. Fall: $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$
2. Fall: $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = -1 \end{eqnarray*}$ Aber dieser ist NICHT MÖGLICH, da $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ IMMER!
Somit bleibt nur
1. Fall: $\begin{eqnarray*} y = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt tun wir nichts anderes als Einsetzen. Wir wissen schließlich, aus beiden Ableitungen muss MINDESTENS EIN Fall eintreten.

Nehmen wir also an aus Ableitung nach x träte 1. Fall ein.

$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Schauen wir jetzt auf die Ableitung nach y:

1. Fall: $\begin{eqnarray*} y = 0 \Rightarrow x = 0, y = 0 \end{eqnarray*}$ , Punkt $\begin{eqnarray*} (x_1,y_1) = (0,0) \end{eqnarray*}$

Wir haben also unseren ersten Extremalpunkt gefunden.

Nun nehmen wir an, aus Ableitung nach x träte der 2. Fall ein, nämlich

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Wir schauen wieder den 1. Fall an, aus Ableitung y

$\begin{eqnarray*} y = 0, x^2 + y^2 = 1<br /> <br /> \Leftrightarrow x^2 + (0)^2 = 1<br /> \Leftrightarrow x^2 = 1 <br /> \Leftrightarrow |x| = 1<br /> \Leftrightarrow x = \pm 1 \end{eqnarray*}$

Wir erhalten also folgende 2 Punkte: $\begin{eqnarray*} (x_2, y_2) = (1 , 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_3, y_3) = (-1, 0) \end{eqnarray*}$

Damit haben wir insgesamt 3 Extremalpunkte gefunden

Funfact:
Gäbe es aus der "Ableitung nach y" noch einen 2. Fall (der bei uns ja eigentlich $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = -1 \end{eqnarray*}$ war, und dadurch weg fiel, da er unmöglich ist) müsstest du die 2 Fälle aus der "Ableitung nach x" auch noch im 2. Fall von "Ableitung nach y" einsetzen.

09.03.2016, 08:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von DannyNRW
- Aus den entstandenen Hesse-Matrizen wird die Determinante gebildet und daraus lässt sich dann ablesen, ob es sich um Sattelpunkte, Minima oder Maxima handelt.

Nun ja, ganz so einfach ist es nicht. Man muß die Definitheit der Matrix bestimmen. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten: z. B. Bestimmung der Eigenwerte oder Bestimmung der führenden Hauptminoren.

Zitat:

Original von NichtGanzNeo
Kleiner Leichtsinnsfehler unterlaufen. $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} ( -4(x^2 - y^2)^1) = -4(x^2-y^2)^0*2x = -8x \end{eqnarray*}$

Das ist zwar korrekt, aber im Grunde unnötig, da man bei der Ableitung von x² - y² sofort die Summenregel anwenden kann, was ja bei der Anwendung der Kettenregel auch implizit gemacht wurde..

Was die Komplettlösung angeht, will ich mal ein Auge zudrücken.

09.03.2016, 14:01

NichtGanzNeo

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Ja ich weiß, Komplettlösungen sind hier nicht wirklich Salonfähig. Aber er meinte er brauchte es bis heute und das hier hätte noch ewig dauern können. So lange wollte ich da gestern Nacht nicht mehr dransitzen. Und ganz komplett ist sie ja auch nicht smile

smile

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