Doppelintegral lösen

08.03.2016, 16:20

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Doppelintegral lösen

Habe eine Aufgabe zum Doppelintegral und weiß nicht so recht, wie ich hier anfangen soll.

$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{pi} \int_{x=pi}^{y} \! x*cos(x+y)dxdy \end{eqnarray*}$

Zunächst muss ich ja hier das innere Integral lösen, also das von dx. Dann das äußere, also dy. Wie fange ich hier an? Das x vor dem cosinus müsste ich doch vor das innere Integral ziehen können, richtig?

08.03.2016, 16:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
Zunächst muss ich ja hier das innere Integral lösen, also das von dx.

Musst du nicht - du kannst auch die Integrationsreihenfolge vertauschen, unter sorgfältiger Anpassung der Integrationsgrenzen.

In dem Zusammenhang eine Frage: Ist das innere x-Integral wirklich $\begin{align*} \int\limits_{\pi}^y \end{align*}$ statt $\begin{align*} \int\limits_y^{\pi} \end{align*}$ ? Ich frage das nur, weil es ungewöhnlich (wenn auch nicht verboten) ist, die untere x-Integralgrenze größere als die obere zu wählen, und das hier systematisch für alle Werte der äußeren Integrationsvariablen $\begin{align*} y \end{align*}$ . verwirrt

verwirrt

08.03.2016, 16:32

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

So steht die Aufgabe auf dem Zettel.
Weiß trotzdem noch immer nicht, wie ich hier den Einstieg finde.

08.03.2016, 16:40

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal die innere, die x-Integration: Da bietet sich partielle Integration $\begin{align*} \int uv' ~ \dd x = uv - \int u'v ~ \dd x \end{align*}$ an, hier mit $\begin{align*} u=x \end{align*}$ und $\begin{align*} v'=\cos(x+y) \end{align*}$ .

08.03.2016, 16:57

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x * cos(x+y) = x * sin \left(\frac{x²}{2} \right) - \int_{}^{} \! 1 * sin \left(\frac{x²}{2} \right) \end{eqnarray*}$

So?

08.03.2016, 17:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du rechnest also $\begin{align*} \int \cos(x+y) ~ \dd x \stackrel{?}{=} \sin\left(\frac{x^2}{2}\right) \end{align*}$ .

Vielleicht überlegst du dir das besser nochmal - das einzige, was daran stimmt, ist das Vorkommen von $\begin{align*} \sin \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

Anzeige

08.03.2016, 17:25

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal... Du hast gesagt, man nehme an, dass:

u = x
v' = cos(x+y)

Gesucht ist demnach u' und v...

die Ableitung u' von x ist 1.
die Stammfunktion v von cos(x+y)...

ähhm...

$\begin{eqnarray*} sin(x+y) * \frac{x²}{2} \end{eqnarray*}$

?

08.03.2016, 17:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Was wohl in deinem Gehirn vorgeht... Stammfunktion bzgl. Variable $\begin{align*} x \end{align*}$ ist einfach $\begin{align*} \int \cos(x+y) ~\dd x = \sin(x+y) + C \end{align*}$ .

08.03.2016, 17:38

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Du merkst vielleicht, dass ich hier Vergleiche zur Differentialrechnung mache.
Warum bleibt das (x+y) komplett unberührt?

08.03.2016, 18:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Differenziere $\begin{align*} \sin(x+y) \end{align*}$ nach $\begin{align*} x \end{align*}$ und schau, was rauskommt.

08.03.2016, 18:03

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

@DannyNRW:

Du hast ja eine ziemliche Bandbreite von Aufgaben nun hier gepostet. Darf ich mal fragen, wieso du dich nun mit Doppelintegralen und Funktionen mehrerer Veränderlichen beschäftigst / beschäftigen sollst (?), wenn deine anderen Threads (ich beziehe mich nun mal auf diesen) offen gelegt haben, dass (ich formuliere es mal vorsichtig) dir doch einige Grundlagen fehlen. Wenn du dir bei dieser Aufgabe schon unsicher bist und es an einer einfachen Berechnung von Funktionswerten scheitert, dann ist die Aufgabe in diesem Thread (befürchte ich) eine Nummer zu groß. Hier ist es auch so, die Anwendung der Kettenregel ist eine elementare Grundlage der Analysis.

Tipp: Beschäftige dich erstmal weiterhin mit einfachen / einfacheren Aufgaben und übe / wiederhole die Grundlagen.

08.03.2016, 18:09

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich darfst Du...
Das ist der Stoff des 1. Semesters meines jetzigen berufsbegleitenden Studiums. Mein Problem ist ganz einfach, dass der Stoff bis morgen irgendwie rein muss! Du verstehst vielleicht, was ich meine. Wiederholen der Grundlagen ist also gerade schlecht und ab morgen Abend sicher wieder machbar.
Die anderen Sachen habe ich mit Eurer Hilfe eigentlich auch ganz gut verstanden wie ich denke und nun muss ich einfach noch zusehen, dass ich soviel wie möglich geschafft bekomme.
Bin deshalb um jede Hilfe dankbar

08.03.2016, 18:12

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Wer weiß, vielleicht verstehe ich ja doch irgendwann wirklich, was ich da genau mache. Das ist mein Anliegen und genau das vermisse ich oftmals in den Vorlesungen. Die Dozenten stehen an der Tafel, schreiben irgendwas ab und erklären können sie's dann aber nicht wirklich. Will nicht meckern, aber das ist leider die Realität.

08.03.2016, 19:00

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar - hatte mich nur mal interessiert, da der Sprung vom Niveau doch sehr groß ist. Da es sich so anhört, als wenn du morgen eine Klausur schreibst, wünsche ich dir viel Erfolg.

Hast du nun eine Stammfunktion finden und die Aufgabe lösen können?

08.03.2016, 19:49

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Hal 9000:

Natürlich hast Du Recht. Wenn ich sin(x+y) nach x ableite, dann erhalte ich cos(x+y). Die innere Ableitung von x ist 1 und somit passt das.

@ Mathema:

Danke Dir, ich hoffe einfach, es wird reichen.

Ich schreibe nun den Ausdruck nochmals hin:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x * cos(x+y) = x * sin(x+y) - \int_{}^{} \! sin (x+y) \end{eqnarray*}$

Und weiter?

08.03.2016, 19:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn du jetzt gesehen hast, wie man $\begin{align*} \cos(x+y) \end{align*}$ integriert, dann kriegst du das ja vielleicht auch bei $\begin{align*} \sin(x+y) \end{align*}$ hin - gern auch mal selbständig ohne Anhalten bei jedem Minischritt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2016, 20:03

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre dann...

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x * sin(x+y) = x * -cos(x+y) - \int_{}^{} \! -cos (x+y) \end{eqnarray*}$

Aber das war's ja nicht schon, oder? Ich muss ja zumindest noch die Grenzen einsetzen.

08.03.2016, 21:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging nur um das Integral $\begin{align*} \int \sin(x+y) ~ \dd x \end{align*}$ rechts in

$\begin{align*} \int x \cdot \cos(x+y) ~ \dd x = x \cdot \sin(x+y) - \int \sin(x+y) ~ \dd x = x \cdot \sin(x+y) + \cos(x+y) \end{align*}$ .

Was du da jetzt treibst, ist mir schon wieder unerklärlich - du hast einen fatalen Hang zur unnötigen Verkompliziererei. Erstaunt1

Erstaunt1

P.S.: Und lass bitte das Differntial $\begin{align*} \dd x \end{align*}$ nicht weg - gerade hier bei so einer Aufgabe, wo wir später noch zur Integration über $\begin{align*} y \end{align*}$ kommen und tatsächlich Verwechslungsgefahr besteht. unglücklich

unglücklich

08.03.2016, 21:35

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

-cos abgeleitet ist doch sin. Oder was meintest Du? verwirrt

verwirrt

08.03.2016, 21:49

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
Das wäre dann...

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x * sin(x+y) = x * -cos(x+y) - \int_{}^{} \! -cos (x+y) \end{eqnarray*}$

Aber das war's ja nicht schon, oder? Ich muss ja zumindest noch die Grenzen einsetzen.

Ich glaube er meinte:

Du hast gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x * sin(x+y)dx = x * -cos(x+y) - \int_{}^{} \! -cos (x+y)dx \end{eqnarray*}$

aber du hättest rechnen sollen

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(x+y)dx = -cos(x+y) \end{eqnarray*}$

was natürlich viel einfacher ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2016, 21:56

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, den hinteren Intgralausdruck kann ich mir generell schenken?

08.03.2016, 22:11

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt darauf? verwirrt

verwirrt

08.03.2016, 22:16

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@DannyNRW

Irgendwie finden wir so gar keine Verständnisebene - mal ein Rückblick:

Es ging (und geht noch) darum, das innere Integral $\begin{align*} \int\limits_{x=\pi}^y x\cdot \cos(x+y) ~ \dd x \end{align*}$ zu berechnen. In einem ersten Schritt will man da die Stammfunktion (=unbestimmtes Integral) $\begin{align*} \int x\cdot \cos(x+y) ~ \dd x \end{align*}$ bestimmen.

Du warst nun 19:49 auf diesem Weg bei

$\begin{align*} \int x\cdot \cos(x+y) ~ \dd x = x\cdot \sin(x+y) - \int \sin(x+y) ~ \dd x \end{align*}$

angelangt - das ist es doch m.E. VOLLKOMMEN LOGISCH, auch noch das verbleibende Restintegral $\begin{align*} \int \sin(x+y) ~ \dd x \end{align*}$ zu bestimmen.

Was dagegen dein Plan ist - ich wiederhole es: was in deinem Kopf da vorgeht - ist und bleibt für mich ein Buch mit sieben Siegeln. unglücklich

unglücklich

@NichtGanzNeo

Find ich gut, dass du übernimmst. Freude

Freude

08.03.2016, 22:18

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil Du in Deinem letzten Ausdruck einfach nur das linke Integral weggelassen hast.
Sorry, aber im Moment kann ich echt nur vergleichen wie ein Affe, weil ich nicht weiß, was ich da tue.

Bzw. glaube ich im Moment, dass einfach meine Schreibweise etwas... moniert wird und ich mich einfach kürzer fassen könnte?

Sorry, aber vielleicht wär's schön, wenn Ihr einfach mal in einigen Worten erklären könntet, was Ihr meint. Gerade zu dieser Zeit... Ich bin seit heute Morgen am lernen Hammer

Hammer

08.03.2016, 22:20

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Hal 9000: Du hattest ja eine neue Aufgabe eingeworfen: sin(x+y). Da hatte ich mich einfach kurz herangewagt.

08.03.2016, 22:21

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
Weil Du in Deinem letzten Ausdruck einfach nur das linke Integral weggelassen hast.

Ein weiteres Beispiel dafür, dass wir keine Verständnisebene finden: Ich hab nicht die geringste Ahnung, wo ich was "weggelassen" haben soll.

08.03.2016, 22:24

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ich hatte NichtganzNeo gemeint @ Hal 9000

08.03.2016, 22:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie auch immer, ich bin nun weg (ansonsten dreh ich hier noch durch). Wink

Wink

08.03.2016, 22:27

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir bitte meinen Post nochmal GANZ genau an. Vergleiche die beiden Gleichungen. Vor allem den ersten Ausdruck jeder Gleichung. So als würdest du "Finde den Fehler" spielen. Du wirst merken, ich habe noch mehr "weggelassen" Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.03.2016, 22:36

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, jetzt dämmert's... Sorry Finger1

Finger1

Wir waren dort stehen geblieben:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x * cos(x+y) = x * sin(x+y) - \int_{}^{} \! sin(x+y) \end{eqnarray*}$

Und jetzt denke ich, meinte Hal 9000 einfach, dass hier noch das hinten stehende Restintegral gelöst werden soll. Und das ist dann

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! -cos=(x+y) \end{eqnarray*}$

08.03.2016, 22:56

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
Und das ist dann

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! -cos=(x+y) \end{eqnarray*}$

Ich nehme jetzt einfach mal an, das war ein Tippfehler und du meintest

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! sin(x + y) =-cos(x+y) \end{eqnarray*}$

Dann sind wir ja wieder auf einer Ergebnishöhe. So, nachdem wir jetzt das ganze Schritt für Schritt erarbeitet haben, was folgt denn nun endlich für das innere Integral? Was ist

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! x*cos(x + y) \end{eqnarray*}$

?

08.03.2016, 23:04

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} x * sin (x+y) - (-cos(x+y)) \end{eqnarray*}$

08.03.2016, 23:51

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Prost

Dann kannst du ja jetzt das gesamte Integral locker ausrechnen Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.03.2016, 14:10

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie ist mein letzter Post verschwunden?

Hm, nochmal...

Also muss ich jetzt "nur" noch das äußere Integral nach y lösen und die Grenzen einsetzen? Das x sollte dann ja diesmal wegfallen, da konstant.

09.03.2016, 14:15

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist dieses "wegfallen" schon wieder verwirrt

verwirrt

smile

Also du hast ja jetzt das innere Integral. Da setzt du ja dann die Grenzen für x ein. Dann gibt es schon mal kein x mehr ("fiel weg" ? verwirrt

verwirrt

Big Laugh

) Jetzt integrierst du nach y, setzt die Grenzen ein und fertig.

Solltest du das gemeint haben dann: ja! Big Laugh

Big Laugh

09.03.2016, 14:35

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich finde das unheimlich schwer, Grenzen in Form von Buchstaben einzusetzen, versuche es aber einfach mal, da mir jetzt auch nicht mehr viel Zeit bleibt.

$\begin{eqnarray*} = pi * sin (pi + y) - (-cos (pi + y)) \end{eqnarray*}$

Habe hier jetzt wirklich nur stur x durch pi ersetzt. Zu einfach, oder?

09.03.2016, 14:41

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von DannyNRW
Habe hier jetzt wirklich nur stur x durch pi ersetzt. Zu einfach, oder?

Bisschen. Aber viel schwerer wird es nicht. Du musst einmal die Obere Grenze (in diesem Fall y) stur für x einsetzen (I), dann die untere Grenze (hier $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) stur für x einsetzen (II) und dann den ersten Ausdruck (I) minus den zweiten (II).

09.03.2016, 14:54

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} [y * sin(2y) - (-cos(2y))] - [pi * sin(pi + y) - (-cos(pi + y))] \end{eqnarray*}$

?

Ich habe jetzt die ganze Lösung für das innere Integral hergenommen, jeweils y für x eingesetzt (in den ersten eckigen Klammern).
Dann nochmals die komplette Lösung für das innere Integral, aber dort dann für x=pi eingesetzt (die zweiten eckigen Klammern).
Zuletzt obere Grenze (erste eckige Klammer) minus untere Grenze (zweite eckige Klammer).
Hoffe, es ist verständlich geschrieben.

09.03.2016, 14:59

NichtGanzNeo

Auf diesen Beitrag antworten »

Jupp, passt so weit.

09.03.2016, 15:24

DannyNRW

Auf diesen Beitrag antworten »

und nun noch das äußere Integral...

$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{pi} \! cos(x+y) dy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = sin(x+y) \end{eqnarray*}$

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »