Reihenentwicklung (n-te Ableitung)

08.03.2016, 20:22	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihenentwicklung (n-te Ableitung) Hallo, ich tu mir etwas schwer bei folgender Aufgabe. Man soll die f(17)(0) und f(18)(0) folgender Funktion bestimmen $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{4x}{x^2+9} \end{eqnarray}$ Man wird darauf hingewiesen, dass man zuerst eine geometrische Reihe entwickeln soll. Mein Ansatz wäre folgender gewesen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2+9}=\frac{1}{9}\frac{1}{1+x^2/9}=\frac{1}{9}\sum (-\frac{1}{9}x^2)^k \end{eqnarray*}$ Kann das so stimmen?
08.03.2016, 22:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihenentwicklung (n-te Ableitung) Ja, kann es. Und wie geht es jetzt weiter?
08.03.2016, 22:47	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab dann so weiter gemacht. $\begin{eqnarray} \frac{1}{9}\sum (-1)^k(\frac{1}{9})^kx^{2k} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{9}\sum (-1)^{n/2}(\frac{1}{9})^{n/2}x^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{9}\sum (-1)^{n/2}(\frac{1}{9})^{n/2}4x^{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{9}\sum (-1)^{(n-1)/2}(\frac{1}{9})^{(n-1)/2}4x^{n} \end{eqnarray}$ Bin mir nicht ganz sicher, ob ich das mit den n/2 so machen darf. PS: Keine Ahnung warum die Einrückung so komisch ist.
08.03.2016, 23:28	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Also zunächst stehen da ein paar Summen zusammenhansglos untereinander. Es ist nicht besonders klar, was du damit ausdrücken willst. Soll das ein Gleichungskette sein? Der geneigte Helfer kann sich das zusammenreimen, der Übungsleiter wird kurzerhand Null Punkte vergeben. Das nur als Hinweis. Die n/2 Umformung kannst du machen, allerdings musst du dann unbedingt deine Summationsvariable angeben, und hier insbesondere, dass n nur gerade Zahlen durchläuft. Schließlich und endlich machst du es dir viel zu kompliziert. Mit der Reihenentwicklung folgt doch sofort $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{4}{9}\sum_{k=0}^\infty \left(-\frac{1}{9}\right)^k x^{2k+1} \end{eqnarray}$
09.03.2016, 07:55	vogs	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt, da sollte ich genauer werden, sollte, wie du natürlich korrekt erkannt hast, eine Gleichheitskette sein. Mit der Formel $\begin{eqnarray} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} => f^{(n)}(0)=a_n n! \end{eqnarray}$ kann ich mir dann z.B. die 17 Ableitung bei 0 berechnen mit: $\begin{eqnarray} a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!} => f^{(n)}(0)=a_n * n! => f^{(17)}(0)=\frac{4}{9} (-\frac{1}{9})^8* 17!\\ \end{eqnarray}$ Und es sind "nur" hoch 8, da beim $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in der Potenz ja ein $\begin{eqnarray} 2k+1 \end{eqnarray*}$ steht. Ich hoffe das hab ich korrekt schlussgefolgert.
09.03.2016, 08:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist eben keine Gleichungskette. Zwischen der dritten und vierten Zeile hast du nämlich den Faktor 4x eingeführt. Der Rest stimmt.
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