Wahrscheinlichkeitsverteilung

08.03.2016, 20:47	NichtGanzNeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeitsverteilung Hallo Es geht um folgendes Problem, ich hoffe ihr könnt mir helfen In einem Eimer befinden sich 100 Nägel, aufgeteilt in Gerade und Krumme. Aus dem Eimer entnehme ich 6 Nägel ohne zurücklegen. Wie viele Gerade Nägel müssen in dem Eimer sein, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von über 80% 3 gerade Nägel unter den 6 ziehe? Meine Ideen: sei q die Wahrscheinlichkeit der geraden Nägel (Also $\begin{eqnarray} p = \frac{x}{100} \end{eqnarray}$ mit x = "Anzahl der geraden Nägel im Eimer") Gesucht ist x. Dann gilt $\begin{eqnarray} P^{100}_{q}(z \geq 3) \geq 0,80 <br /> \Leftrightarrow 1 - P^{100}_{q}(z \leq 2) \geq 0,80<br /> \Leftrightarrow P^{100}_{q}(z \leq 2) \leq 0,2 <br /> \Leftrightarrow \begin{pmatrix} 100 \\ 0 \end{pmatrix}q^0(1-q)^{100} + \begin{pmatrix} 100 \\ 1 \end{pmatrix}q^1(1-q)^{99} + \begin{pmatrix} 100 \\ 2 \end{pmatrix}q^2(1-q)^{98} \leq 0,2 <br /> \Leftrightarrow \sum\limits_{k=0}^{2} { \begin{pmatrix} 100 \\ k \end{pmatrix}q^k(1-q)^{100-k}} \leq 0,2 \end{eqnarray}$ Jetzt würde ich das ganze natürlich gerne nach q auflösen und daraus x berechnen. Damit hätte ich aber, glaube ich, nicht sehr viel erfolg Ist der Ansatz so weit richtig? Dabei habe ich ja noch gar nicht beachtet, dass 6 mal gezogen wird Und gibt es dazu vlt Tabellen, in denen ich die Lösung nachschauen könnte, bzw. eine Annäherungsformel? Danke schonmal für die Hilfe
08.03.2016, 21:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, genau genommen ist es ja "Ziehen ohne Zurücklegen" - Binomialverteilung passt eher zu "Ziehen mit Zurücklegen" bzw. nur dann näherungsweise zu "Ziehen ohne Zurücklegen", wenn die Gesamtanzahl der Nägel im Eimer sehr groß im Vergleich zur Anzahl der gezogenen Nägel ist. Bei 6 aus 100 .... nun ja, ist grenzwertig, ob man das als "sehr groß" ansehen kann. Die passende Verteilung für "Ziehen ohne Zurücklegen" wäre hier die Hypergeometrische Verteilung $\begin{align} HG(100,M,6) \end{align}$ , wobei $\begin{align} M \end{align}$ die unbekannte Anzahl gerader Nägel unter den 100 Nägeln ist. Es ist somit das kleinste $\begin{align} M \end{align}$ mit $\begin{align} \frac{1}{\binom{100}{6}} \sum_{k=0}^2 \binom{M}{k}\binom{100-M}{6-k} \leq 0.2 \end{align}$ gesucht.
08.03.2016, 21:22	NichtGanzNeo	Auf diesen Beitrag antworten »
Super vielen Dank! Gruß

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