Kurze Frage, Termumformung (Kurvendiskussion)

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09.03.2016, 12:56	DannyNRW	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurze Frage, Termumformung (Kurvendiskussion) Hallo zusammen, habe eine kurze Frage zu folgender Funktion: $\begin{eqnarray} f(x) = x^4 - 6x² + 5 \end{eqnarray}$ Und zwar will ich den Ausdruck in die abc-Formel zur Nullstellenberechnung einsetzen. Die abc-Formel verlangt ja normalerweise diese Form: ax²+bx+c, die ja hier nicht gegeben ist. Wäre es nicht einfach möglich, hier einfach sozusagen ein x² "herauszukürzen", um dann folgenden Ausdruck zu erhalten? $\begin{eqnarray} f(x) = x² - 6x + 5 \end{eqnarray}$
09.03.2016, 13:01	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vorgang den du beschreibst nennt sich Substitution. Dafür definiert man sich ein $\begin{eqnarray} z:=x^2 \end{eqnarray}$ . Danach geht deine (biquadratische) Gleichung also über in $\begin{eqnarray} z^2 - 6z + 5=0 \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung löst du dann nach z und setzt die Lösung(en) wieder in $\begin{eqnarray} z=x^2 \end{eqnarray}$ ein, um die Lösungen für x zu berechnen. Dieser Vorgang heißt Resubstituion.
09.03.2016, 13:09	DannyNRW	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution wurde mal kurz in der Integralrechnung angeschnitten, aber wie das hier funktionieren soll, kann ich mir gerade nur schwer vorstellen. Heisst das also, ich rechne dann einfach stur mit $\begin{eqnarray} z² - 6z + 5 \end{eqnarray}$ weiter? Sprich, diese Gleichung in meine abc-Formel einsetzen, aber die erhaltenen Nullstellen dann nochmals in die ursprüngliche Funktion einsetzen?
09.03.2016, 13:14	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies dir noch mal meinen Text durch. Du kannst doch nicht einfach die Funktionsgleichung verändern. Wir substituieren nur innerhalb der Gleichung $\begin{eqnarray} x^4 - 6x² + 5=0 \end{eqnarray}$ . Diese Gleichung geht über in $\begin{eqnarray} z^2 - 6z + 5=0 \end{eqnarray}$ mit den Lösungen $\begin{eqnarray} z_1=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_2=5 \end{eqnarray}$ . Dafür brauchst du auch keine abc-formel, die sieht man direkt mit Vieta. Suchst du nun also die Nullstellen deiner Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ musst du folgende Gleichungen lösen: $\begin{eqnarray} 1=x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5=x^2 \end{eqnarray}$ Deine Funktion hat somit 4 Nullstellen.
09.03.2016, 13:22	gast0903	Auf diesen Beitrag antworten »
Anm: Die bekanntere pq- Formel wäre sinnvoller, da es keinen Faktor vor x^2 gibt.
09.03.2016, 13:25	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Was willst du jetzt mit der pq-Formel denn? Bei den Gleichungen $\begin{eqnarray} 1=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 5=x^2 \end{eqnarray}$ zieht man direkt die Wurzel. Es ging um die Gleichung $\begin{eqnarray} z^2 - 6z + 5=0 \end{eqnarray}$ . Und wenn die pq-Formel nicht bekannt ist, nimmt man dort die abc-Formel. Bitte den Thread lesen, wenn man einen Kommentar dazu loswerden möchte.
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09.03.2016, 13:25	DannyNRW	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Nullstellen hatte ich so auch heraus. Aber x1 = 5 = x² und x2 = 1 = x² klingt super. Also im ersten Falle nur noch 5 nach x auflösen und ich erhalte als Ergebnis $\begin{eqnarray} \pm \sqrt{5} \end{eqnarray}$ . Danke! Was aber nun, wenn hier im Endeffekt x1 = 5 = x³ stünde und dementsprechend eine Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^5-6x³+5 \end{eqnarray}$ vorangegangen wäre? Wäre dann $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{x} \end{eqnarray}$ , oder? Ich weiß, das Spielchen kann man jetzt ewig so weitertreiben, aber mich interessiert das jetzt mal.
09.03.2016, 13:33	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^5-6x³+5 \end{eqnarray}$ klappt das nicht, dafür müsste deine Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^6-6x³+5 \end{eqnarray}$ lauten. Dann könnten wir die Gleichung $\begin{eqnarray} x^6-6x³+5=0 \end{eqnarray}$ umschreiben zu $\begin{eqnarray} (x^3)^2-6x³+5=0 \end{eqnarray}$ und könnten $\begin{eqnarray} z:=x^3 \end{eqnarray}$ substituieren. Die Gleichung $\begin{eqnarray} x^3=5 \end{eqnarray}$ hat die Lösung $\begin{eqnarray} x=\sqrt[3]{5} \end{eqnarray}$
09.03.2016, 13:42	DannyNRW	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, denn $\begin{eqnarray} \sqrt{5} = \sqrt[2]{5} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{5} \end{eqnarray}$ schreibt halt nur niemand. Nochmal ganz herzlichen Dank!
09.03.2016, 15:20	gast0903	Auf diesen Beitrag antworten »
Die pq-Formel ist meiner Beobachtung nach die häufigste Methode, die man hier anwendet. Vieta kommt bei Schülern kaum noch vor.

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