Trigonometrie, Innenwinkelsummen-Problem

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Trigonometrie, Innenwinkelsummen-Problem
Folgendes Dreieck ist gegeben:

Alpha = 37°
b= 620m
c = 430m

Über Kosinussatz ist a = 378,77m

Sinussatz nach Sin Beta umstellen dann ist Beta = 80,1° aber das ist FLASCH warum muss man dann noch mal 180° - 80,1° machen , um dann Beta mit 99,9° zu erhalten?

Merci
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie, Innenwinkelsummen-Problem
Der Winkel, der der größeren Seite gegenüberliegt, ist nicht bekannt. In diesem Fall solltest du auch den Kosinussatz nehmen.
Alternativ kannst du im vorliegenden Fall natürlich auch erst gamma ausrechnen.

Wenn du das Dreieck mit a, b und alpha konstruierst, wirst du feststellen, dass du 2 mögliche Lösungen erhältst.

smile
 
 
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Wären beide Lösungen korrekt?
Einmal über den Sinussatz (sin 37° * 430)/ 378,77 mit Gamma = 43,1° und dann über die Innenwinkelsumme mit Beta = 99,9

Wenn ich den Sinussatz folgendermaßen anwende: (sin 37° * 620)/ 378,77 erhalte ich Beta = 80,1° und demzufolge GAmma = 62,9°
Beides aber doch völlig andere Dreiecke, was ist nun richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

In unserem Fall gibt es nur eine Lösung: Da alle Seitenlängen bekannt sind, ist das Dreieck eindeutig festgelegt.
Nur mit beta = 99,9° kommst du auf c = 430m, wenn du das Dreieck mit beta = 80,1° berechnest, wird dein c kürzer.

smile
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Okay....
und rein rechnerisch erkenne ich das woran? Oder muss man die Dreiecke immer konstruieren?
Hintergrund ist doch die Tatasche, dass den sin eines WInkels immer 2 Maße hat bzw. der cos. Sprich, Sin 80° = sin 100°
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ich geschrieben habe: Bei SSW kannst du den Sinussatz nur anwenden, wenn der Winkel, der der größten Strecke gegenüberliegt, gegeben ist. Ansonsten musst du mit dem Kosinussatz arbeiten.
Ich denke, rechnerisch wirst du es - zumindest auf den ersten Blick - nicht erkennen, dass du einen falschen Winkel ermittelt hast.

Man muss das Dreieck keinesfalls immer konstruieren, es hilft allerdings für das Verständnis des Problems, wenn man es mal macht. Ich habe deshalb einmal eine Skizze zu der Rechnung gemacht:
[attach]41101[/attach]
Man sieht die beiden Möglichkeiten für a und dementsprechent die beiden verschiedenen Größen für beta. Man erkennt aber auch, dass man für c zwei verschiedene Werte erhält.
Wenn du von beta = 80,1° als richtiger Lösung ausgegangen wärst, hätte die gegebene Größe für c nicht mehr gestimmt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

a ist ungenau, tatsächlich ist es 380,62 m
------------
Edit: Unrichtiges Statement entfernt.

ABER:
Nach meiner Rechnung ist

mY+
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber mYthos, leider kann ich weder deinen Wert für a noch für beta bestätigen.

Richtig sind: a = 378,771m und beta = 99,905° (jeweils gerundet)

smile
Spender Auf diesen Beitrag antworten »

Sprich, die Seite a habe ich ja über den Kosinussatz berechnet, aber eben dann mit dem Dreieck, von dem ich nun alle 3 Seiten kenne und einen Winkel, dann mit dem Sinussatz weiter.
Es hätte also dann Beta gegeben sein müssen... Kannst du mir bitte noch mal darlegen, weshalb ich dann mit dem Sinussatz SSW mache? Weil die drei gegeben sind?

Merci
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
Lieber mYthos, leider kann ich weder deinen Wert für a noch für beta bestätigen.
...

Ja klar, wenn ich Dodel mit c = 420 anstatt mit 430 rechne, dann muss ja was anderes rauskommen, sorry für die Unannehmlichkeiten!
___________________

@Spender
Man kann nach der Berechnung von a auch mit dem Sinussatz weiterrechnen, das Problem ist dabei nur, dass man dann den RICHTIGEN Winkel "erwischt".
Will man beispielsweise jetzt mittels berechnen, so erhält man, wenn man nicht aufpasst, .

(Das dürfte dir ja anfangs bei deiner Rechnung passiert sein!)

Wie wir wissen, hat aber der Sinus im 1. UND 2. Quadranten zwei gleiche Werte und das ist bei supplementären Winkeln der Fall. Es kommt also auch in Betracht.
Welcher Winkel der "richtige" ist, ist aus der Skizze von sulo sofort zu erkennen:
Der Winkel liegt der größten Dreieckseite (b = 620) gegenüber, c ist verhältnismäßig so klein, dass dieser Winkel größer als 90° (ein stumpfer Winkel) sein muss, also .
Absichern kann man das Ganze auch, indem man zuerst - ebenfalls mit dem Sinussatz - berechnet, dieser ist auf jeden Fall kleiner als 90° (spitz), und danach erst mittels der Winkelsumme den Winkel .

mY+
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann bin ich mal raus aus dem Thread. Wink
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