Vollständige Induktion - IS Beweisen bei falscher Behauptung?

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gogoAustria Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion - IS Beweisen bei falscher Behauptung?
Meine Frage:
Ich bin neu auf der technischen Uni, und in Mathe wurde uns die "Vollständige Induktion" näher gebracht.
Ist eigentlich recht durchschaubar das ganze, allerdings sind mir einige "Zusatzaufgaben" ein Rätsel. Ich behirne nicht so ganz, was da von mir verlangt wird.

a) Zeigen Sie, dass der Induktionsschritt für den Nachweis der falschen Behauptung 1^n=0 beweisbar ist.
b) Geben SIe eine falsche Behauptung an, für die der IA funktioniert, aber der Induktionsschritt fehlschlägt
c) Bestimmen Sie den Fehler in der Aussage "Alle Autos haben die gleiche Farbe"
n= Anzahl Autos

IA: Fall n=1, das heißt, falls es nur ein Auto gibt, haben offenbar alle Autos die gleich Farbe

IS: "Angenommen, es gibt n + 1 Autos. Dann wählen wir ein Auto A
aus, und fahren alle restlichen n Autos in eine (überdimensionierte) Garage. Nach Induktionsvoraussetzung haben die Autos in der Garage alle die gleiche Farbe. Nun wählen wir eines der Autos in der Garage aus, bezeichnen es mit B und fahren es aus der Garage.
Im Gegenzug fahren wir Auto A in die Garage. Dann be finden sich wieder n Autos in der Garage, und nach Induktionsvoraussetzung haben wieder alle die gleiche Farbe. Also haben sowohl das Auto A als auch das Auto B die gleiche Farbe wie die übrigen Autos in der Garage. Das heit aber alle Autos besitzen die gleiche Farbe."

Meine Ideen:
zu a) die Aussage 1^n=0 ist doch völlig irsinnig. Ich kann doch hier nicht mal einen IA bilden. Egal welchen Wert ich für n Einsetze, die Gleichung ist falsch. Was wird da von mir gefragt?

zu b) ich kann zwar eine Behauptung finden wo der IA funktioniert, aber der Rest fehlschlägt, aber ist sie dann automatisch falsch? Kann mir dazu jemand ein Beispiel nennen?

zu c) Irgendwie ist der IA mit n=1 angenommen, aber hier ist es doch schon zum scheitern veruteilt. Ich kann ja dann nicht einfach auf alle schließen, oder etwa doch? Ich würde den IA mit n=2 ansetzen. Ist das schon der gesuchte Fehler?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

zu a) Du sollst doch auch nur zeigen, dass der IS nicht funktioniert. Vom IA hat niemand etwas gesagt.

zu b) Welches Beispiel hattest Du denn im Sinn? Üblicherweise nimmt man bei sowas eine gültige Behauptung und verändert sie ein klein wenig.

zu c) Die Aussage stimmt doch für n=1, also warum sollte man das nicht als IA nehmen dürfen? Der Knackpunkt ist eher der IS, wobei Du glaube ich schon in die richtige Richtung denkst.
gogoAustria Auf diesen Beitrag antworten »

a) Ok, das heißt ich beweise ganz regulär, dass wenn n gilt, auch n+1 gelten muss? Gehört zu einer vollständigen Induktion nicht immer zwingen ein korrekter IA? Das wurde uns heute 1:1 so erklärt.
Da muss ich nicht viel überlegen, dass da immer 1 = 1 beim Beweis rauskommen wird.
Aber ist das ganze nicht Unsinnig? Warum wurde die Angabe nicht gleich richtig gestellt, also mit 1^n=1?

b) Naja, bei jsimplen Ungleichung kann ich einen IA bilden, der bei einem bestimmten n richtig ist, aber irgendwann nicht mehr.
Oder verstehe ich auch das falsch? Kannst du mir ein Beispiel nennen? Würde mich interessieren.

c) Dann verstehe ich es offenbar doch nicht so ganz, wo scheiterts denn beim IS?
NichtGanzNeo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zu einer vollständigen Induktion gehört immer ein Induktinos Anfang (IA), eine Induktions Vorraussetzung (IV) und ein Induktionsschritt (IS) (Manche nennen es auch anders, Induktionsannahme, etc...).

Der Sinn dieser Aufgaben liegt, so weit ich das sehen konnte, darin, zu zeigen, dass man auch wirklich immer alles drei braucht.
a) soll zeigen, dass man auch mit einer Falschen IA ein richtiges IS rausbekommen kann. Deshalb haben sie dir ABSICHTLICH einen völlig falschen IA gegeben. Du sollst ja jetzt auch nur den IS machen, und keine vollständige Induktion. Probiers doch einfach mal. Nimm an, und schau was dann für folgt.

b) Da kannst du eigentlich alles nehmen. Überleg dir einfach igendne Gleichung mit einer Variablen, dann löst du die und sagst, klappt für alle Zahlen größer gleich deiner Lösung.

c) Naja, ich finde das Beispiel ein bisschen unmathematisch, folglich komisch. Die Induktinosvorraussetzung müsste meiner Meinung nach sein, wenn Autos gleicher Farbe in der Garage sind und ich eines heraus fahre, dann sind die verbleibenden Autos auch gleicher Farbe. Daraus folgt aber weder, dass wenn ich ein Auto zu den dazustelle, das dann die selbe Farbe hat, noch, dass wenn ich Autos in der Garage hab, und weiß, dass davon die Selbe Farbe haben, ich ein beliebiges rausnehmen kann und dann die verbleibenden Autos in der Garage die selbe Farbe haben. Das, denke ich, ist das Problem bei dem IS

edit: Latex korrigiert
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion - IS Beweisen bei falscher Behauptung?
Bei c) verursacht folgende Aussage Probleme:
Zitat:
Original von gogoAustria
Also haben sowohl das Auto A als auch das Auto B die gleiche Farbe wie die übrigen Autos in der Garage. Das heist aber alle Autos besitzen die gleiche Farbe."


Zum Rest hat NichtganzNeo ja schon einiges geschrieben.
NichtGanzNeo Auf diesen Beitrag antworten »

Willst du damit andeuten, ich hätte Probleme mich kurz zu fassen? Big Laugh
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bei deinem Titel musst du dich nun vor der NSA fürchten... geschockt Augenzwinkern
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