LGS mit einem Parameter

10.03.2016, 20:04

Hauke Schäffer

LGS mit einem Parameter

Meine Frage:
Hallo! Ich habe ein Problem bei der folgenden Aufgabe:

"Für welche Werte des Parameters t ? R hat das folgende lineare Gleichungssystem (i) genau eine Lösung, (ii) unendlich viele Lösungen, (iii) keine Lösung in R3? Bestimmen Sie die Lösungen f¨ur alle drei Fälle."

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & t-4 \\ 3 & 5 & t^{2}+4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ t+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Vorne weg: mir ist bekannt, dass...

i)...ein LGS genau dann eindeutig lösbar ist, wenn die Determinante von Null verschieden ist.
ii)...ein LGS unendlich viele Lösungen hat, wenn alle Nebendeterminanten den Wert Null besitzen (bzw. wenn eine Nullzeile vorliegt).
iii)...ein LGS keine Lösung besitzt, wenn es a) überbestimmt ist, oder b) eine falsche Aussage enthält (z.B. Null = Sechs).

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

(1.) Zuerst habe ich das LGS nach Gauß-Algorithmus in Dreiecksform gebracht.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & t-4 \\ 3 & 5 & t^{2}+4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ t+3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (addiere Zeile 1 zu Zeile 2, subtrahiere 3*Z1 von Z3)
_________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & t-3 \\ 0 & 1 & t^{2}+1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ t-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (addiere Zeile 2 zu Zeile 3)
_________________________________________________________

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & -1 & t-3 \\ 0 & 0 & t^{2}+t-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ t+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(2.) Hier kommt jetzt das eigentliche Problem: ich habe zwei Ideen, wie man jetzt weiter macht. Der Einfachheit halber, hier beide einzeln erläutert.
(2.1) $\begin{eqnarray*} \textbf{Idee 1:} \end{eqnarray*}$ Ich berechne die Determinante der Matrix (mit der "Regel von Sarrus"), noch bevor sie mittels Gauß-Algorithmus umgeformt wird. Das sieht bei mir dann so aus:
$\begin{eqnarray*} det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & t-4 \\ 3 & -5 & t^{2}+4 \end{vmatrix} \Rightarrow D=t^{2} +4-6\cdot (t-4)+5-3+5\cdot (t-4)-(t^{2} +4)=(-t+4)+2 \end{eqnarray*}$
Da die Determinante noch den Parameter t enthält, habe ich die folgende Gleichung aufgestellt und direkt gelöst um herauszufinden, für welche Werte es eine eindeutige Lösung gibt.
$\begin{eqnarray*} -t+4+2=0 \Rightarrow t=6 \end{eqnarray*}$ , Folgerung: LGS eindeutig lösbar für $\begin{eqnarray*} \left\{ t\in \mathbb R : t\neq 6\right\} \end{eqnarray*}$ .

(2.2) $\begin{eqnarray*} \textbf{Idee 2:} \end{eqnarray*}$ Ich nehme die mittels Gauß-Algorithmus umgeformte Matrix und unterscheide zwei Fälle, als da wären $\begin{eqnarray*} \textbf{t=0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textbf{t$\neq$ 0 } \end{eqnarray*}$ .

Könnt ihr mir bei der Aufgabe weiterhelfen?

lg,
cr0wnd

10.03.2016, 20:32

Dopap

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ich finde die Rechnung mit Determinante etwas aufwendig, Gauss ist doch die erste Wahl.

iii.) a.) überbestimmt ? reicht nicht aus. Besser und richtig ist: $\begin{eqnarray*} rg(A)<rg(A_e) \, \text{wobe}\, A_e \end{eqnarray*}$ die erweiterte Matrix ist.

Aber was ist denn mit Zeile 3:

$\begin{eqnarray*} (t^2+t-2)x_3=t+2 \end{eqnarray*}$ , lässt sich damit was anfangen ?

10.03.2016, 20:42

Hauke Schäffer

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Bei Zeile 3 liegt ein quadratischer Term vor, darauf ließen sich ja Mitternachts- oder pq-Formel anwenden. Wäre ich damit auf dem richtigen Weg? verwirrt

EDIT: Ich habe mal versucht den linken Term durch den rechten Teil zu teilen (Polynomdivision) und t-1 herausbekommen. Hilft das weiter? Hilfe

10.03.2016, 21:10

Dopap

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ja, dann gilt

$\begin{eqnarray*} (t-1)(t+2)x_3=t+2 \end{eqnarray*}$

und was sagt uns das ?

10.03.2016, 21:18

Hauke Schäffer

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Das sagt uns, dass durch (t+2) dividiert werden kann! Freude

Jetzt noch Ordnung in die Zeile gebracht und ich erhalte $\begin{eqnarray*} \textbf{t$\cdot$ x3= 2} \end{eqnarray*}$ .

10.03.2016, 21:27

Dopap

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kannst du nicht! dann musst du schon schreiben: und t+2 ungleich Null.

Außerdem steht dann links

$\begin{eqnarray*} (t-1)x_3=1 \end{eqnarray*}$ !!!

besser sind jetzt Fallunterscheidungen, was sagt die Gleichung für

a.) t=1
b.) t=-2
c.) weder noch ?

10.03.2016, 21:42

Hauke Schäffer

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Also, ausgehend von der Gleichung
$\begin{eqnarray*} (t-1)(t+2)x3=t+2 \end{eqnarray*}$
komme ich auf folgende Ergebnisse:

1.) Für t=1: Nicht lösbar/keine Lösung, da 0=3 (math. Widerspruch)
2.) Für t=-2: Unendlich viele Lösungen, mit x3= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ergibt sich ein Lösungsvektor.
3.) Für $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ \ $\begin{eqnarray*} \left\{ 1,-2\right\} \end{eqnarray*}$ : Eindeutige Lösung.

10.03.2016, 21:50

Dopap

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Zitat:

1.) Für t=1: Nicht lösbar/keine Lösung, da 0=3 (math. Widerspruch)
2.) Für t=-2: Unendlich viele Lösungen, mit x3= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ergibt sich ein Lösungsvektor.
3.) Für $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \left\{ 1,-2\right\} \end{eqnarray*}$ : Eindeutige Lösung.

3.) Für $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R \backslash \{ 1,-2 \} \end{eqnarray*}$ : Eindeutige Lösung.

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Das mit t=0 und t<> 0 war wohl nix!

10.03.2016, 21:53

Hauke Schäffer

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Alles klar, klasse! Danke dir! Respekt

Ich hab gerade gesehen, für x3= $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ würde man bloß einen zweiten Parameter einführen (oder?); die Antworten für alle drei Fälle stimmen aber doch dann?

10.03.2016, 21:59

Dopap

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eigentlich ist $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ der Parameter ( frei wählbar ). Üblicherweise benennt man aber um.
Es bleibt aber bei einem Parameter.

2 (verschiedene ) Parameter würden eine Ebene im Raum bedeuten.

So bleibt es aber bei einer Geraden.

10.03.2016, 22:04

Hauke Schäffer

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Okay