Ellipsoid über Integral

10.03.2016, 20:23	TonyStark	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipsoid über Integral Hallo miteinander, kurze Frage,ich bin soweit auf dem richtigen Dampfer jedoch fehlt mir eine Kleinigkeit. Wir haben eine Aufgabe hier vorliegen in welcher man in Punkt A) ein bestimmtes Integral über Substitution lösen soll. Easy kein Ding. B) heisst dann man solle die Mantelfläche eines Elipsoid mit den errechneten Grenzen ausrechnen. Generell Flächenberechnung mit Integralen ist auch kein Ding. Aber welche Formel gilt für die Fläche des Elipsoid und wie ist das Integral dafür mit dem ich später rechne? Jemand da eine Idee,das wärs dann schon.
11.03.2016, 09:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein berechnet man den Flächeninhalt A einer Fläche mit der Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec x(u,v) \end{eqnarray}$ mit folgendem Flächenintegral $\begin{eqnarray} A=\int\int \left \| \frac{\partial \vec x}{\partial u}\times \frac{\partial \vec x}{\partial v}\right \|\,\,dudv \end{eqnarray}$ Speziell die Ellipsoid-Fläche mit den 3 Halbachsen a, b, c hat folgende Parameterdarstelllung $\begin{eqnarray} \vec x(\phi, \theta)=\begin{pmatrix} a\cdot \cos(\phi)\sin(\theta) \\ b\cdot \sin(\phi)\sin(\theta) \\ c\cdot \cos(\theta) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ähnlich wie bei der Kugeloberfläche entsprechen die beiden Parameter $\begin{eqnarray} u=\phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v=\theta \end{eqnarray}$ dem Längen- und Breitengrad. Die Kugeloberfläche wäre übrigens der Spezialfall a=b=c=Radius. -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Die Berechnung des obigen Integrals ist mit etwas Rechenarbeit verbunden. Mache folgende Schritte: - 1. Berechne die Vektoren $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \end{eqnarray}$ , indem du die obige Parameterdarstellung $\begin{eqnarray} \vec x(\phi,\theta) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ differenzierst. - 2. Berechne den Betrag des Vektorproduktes, also den Term $\begin{eqnarray} \left \| \frac{\partial \vec x}{\partial \phi}\times \frac{\partial \vec x}{\partial \theta}\right \| \end{eqnarray}$ - 3. Integriere diesen Term über $\begin{eqnarray} \phi, \theta \end{eqnarray}$ ab.

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