Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung

11.03.2016, 15:31

MichaelKaprosky

Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung

Meine Frage:
Eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f_{A} : R^6 -> R^4 \end{eqnarray*}$ sei gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f_{A} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 & 0 & 16 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\\x_4 \\ x_5 \\ x_6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie je eine Basis von Kern und von der Bild der Abbildung.

Meine Ideen:
Um eine Basis von Bild und Kern von $\begin{eqnarray*} f_{A} \end{eqnarray*}$ zu bestimmen , bringen wir A durch Anwendung des Gaußchen Algorithmus auf Zeilen Stufen Form :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 & 0 & 16 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

II = 2*II - I : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & 0 & 2 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IV = 2*IV - II : $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 & 0 & 0 & 16 \\ 0 & 2 & 4 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also die Stufenspalten sind die erste und zweite Spalte, vierte und fünfte Spalten ,sechste auch(oops sorry) , daher bilden die entsprechenden Spalten von A eine Basis von imfA , dh. es it : (ich habe hier einfach 2 genommen, gefragt wurde aber nur eins , ich konnte auch natürlich 4te und 5. spalte auch als basis von bild nehmen)

$\begin{eqnarray*} im f_{A} = span { \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} } \end{eqnarray*}$

Meine Frage : ist das jetzt erstmal korrekt?

Um einen Basis von Kern zu bestimmen gucken wir jetzt entspr. Gleichungen an :

$\begin{eqnarray*} x_{5} = -16 x_{6} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{4} = -5 x_{6} \end{eqnarray*}$

wenn ich $\begin{eqnarray*} x_{6} = 1 \end{eqnarray*}$ setzen würde, komme ich auf $\begin{eqnarray*} x_{5} = -16 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{4} = -5 \end{eqnarray*}$ .. Wie soll ich jetzt x1 , x2 und x3 berechnen .... vielen Dank für die Hilfe

11.03.2016, 16:45

klauss

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung
Also nochmal deutlich:
Eine Basis vom Bild sind die Spalten 1, 2, 4 und 5. Das bestätigt sich sehr leicht, wenn man diese Vektoren in eine Matrix schreibt und deren Determinante berechnet. Mehr als Dimension 4 geht ja hier auch nicht.

Um die Basis des Kerns zu bestimmen, empfiehlt es sich schon, die Zeileneinträge zuerst auf teilerfremd runterzudividieren und störende Minuszeichen zu eliminieren.

11.03.2016, 17:03

MichaelKaprosky

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung

Zitat:

Original von klauss
Also nochmal deutlich:
Eine Basis vom Bild sind die Spalten 1, 2, 4 und 5. Das bestätigt sich sehr leicht, wenn man diese Vektoren in eine Matrix schreibt und deren Determinante berechnet. Mehr als Dimension 4 geht ja hier auch nicht.

Um die Basis des Kerns zu bestimmen, empfiehlt es sich schon, die Zeileneinträge zuerst auf teilerfremd runterzudividieren und störende Minuszeichen zu eliminieren.

Vielen Dank erstmal für die Antwort aber das mit Zeileneinträge zuerst auf teilerfremd zu dividieren usw. bringt mir nirgendwo.. also wenn du noch ein bischen ergänzen könntest wäre gut.

11.03.2016, 17:11

klauss

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung
Zeileneinträge zuerst auf teilerfremd zu dividieren ...
soll heißen, wir müssen nicht mit so großen Zahlen weiterrechnen, z. B. die erste Zeile ist dann 1 0 3 0 0 8 usw.
Auch die Minuszeichen in der 3. Zeile sind unerheblich.

Ich persönliche schreibe dann immer (ohne sonstiges Kochrezept) die 4 Zeilen nochmal aus und drücke die gebundenen Variablen durch die freien aus.
Also die 1. Zeile ergibt dann
$\begin{eqnarray*} x_{1}+3x_{3}+8x_{6}=0 \end{eqnarray*}$
was ich nach $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ auflöse. Usw. für die anderen Gleichungen.

11.03.2016, 17:16

MichaelKaprosky

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung

Zitat:

Original von klauss
Zeileneinträge zuerst auf teilerfremd zu dividieren ...
soll heißen, wir müssen nicht mit so großen Zahlen weiterrechnen, z. B. die erste Zeile ist dann 1 0 3 0 0 8 usw.
Auch die Minuszeichen in der 3. Zeile sind unerheblich.

Ich persönliche schreibe dann immer (ohne sonstiges Kochrezept) die 4 Zeilen nochmal aus und drücke die gebundenen Variablen durch die freien aus.
Also die 1. Zeile ergibt dann
$\begin{eqnarray*} x_{1}+3x_{3}+8x_{6}=0 \end{eqnarray*}$
was ich nach $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ auflöse. Usw. für die anderen Gleichungen.

Ah okay .. ja das Stimmt smile

. Aber ich muss immer noch die Gleichung lösen .. da hatte ich problem..

ZB komme ich auf $\begin{eqnarray*} x_{5} = -4 x_{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{4} = -5 x_{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}+2x_{3} = - x_{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}+3x_{3} = -8 x_{6} \end{eqnarray*}$

11.03.2016, 17:23

klauss

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung
Letztlich bleiben 4 Gleichungen, wobei x1, x2, x4 und x5 gebunden und x3 und x6 frei sind. Damit kann man den Lösungsvektor aufstellen und in 2 linear unabhängige Anteile zerlegen. Das sind dann 2 Basisvektoren des Kerns. Versuchs mal bis hierhin.

11.03.2016, 17:36

MichaelKaprosky

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung
Also wenn ich x6 = 0 und x3 = 1 fall (a) und x6 = 1 und x3 = 0 fall (b) setze und die gleichung = 0 löse komme ich auf 2 Vektoren.. sind diese vektoren basis von dem kern?

11.03.2016, 17:39

klauss

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung
Nein, es sind keine Zahlen einzusetzen, sondern 4 Gleichungen, aufgelöst nach den gebundenen Variablen, aufzustellen.
x4 und x5 hattest Du schon richtig.
Du mußt aber noch x1 und x2 isolieren, also durch x3 und x6 ausdrücken.
Danach ist das Ziel nah.

11.03.2016, 17:40

MichaelKaprosky

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RE: Basis der Kern und Bild der linearen Abbildung

Zitat:

Original von klauss
Nein, es sind keine Zahlen einzusetzen, sondern 4 Gleichungen, aufgelöst nach den gebundenen Variablen, aufzustellen.
x4 und x5 hattest Du schon richtig.
Du mußt aber noch x1 und x2 isolieren, also durch x3 und x6 ausdrücken.
Danach ist das Ziel nah.

ah okay danke smile

11.03.2016, 17:57

MichaelKaprosky

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Abb.
Ich habe jetzt die folgende Möglichkeiten :
$\begin{eqnarray*} x_{5} = -4 x_{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{4} = -5 x_{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2} = - x_{6} - 2x_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1} = -8 x_{6} - 3x_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 8x_{2}-x_{1} = - 16x_{3} \end{eqnarray*}$

Naja .. ich habe x1 und x2 schon da isoliert aber wie soll ich immer noch die lösung ausdrücken..

11.03.2016, 18:02

klauss

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RE: Abb.
Die letzte Zeile gehört da nicht hin, der Rest ist richtig.
Kannst Du nun nachvollziehen, wenn ich sage, der Lösungsvektor lautet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3x_{3}-8x_{6} \\ -2x_{3}-x_{6} \\ x_{3} \\ -5x_{6} \\ -4x_{6} \\ x_{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und kannst Du diesen in eine Linearkombination von 2 linear unabhängigen Vektoren zerlegen? Merke: $\begin{eqnarray*} x_{3},x_{6}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (beliebig!)

11.03.2016, 18:45

MichaelKaprosky

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RE: Abb.

Zitat:

Original von klauss
Die letzte Zeile gehört da nicht hin, der Rest ist richtig.
Kannst Du nun nachvollziehen, wenn ich sage, der Lösungsvektor lautet
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3x_{3}-8x_{6} \\ -2x_{3}-x_{6} \\ x_{3} \\ -5x_{6} \\ -4x_{6} \\ x_{6} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Und kannst Du diesen in eine Linearkombination von 2 linear unabhängigen Vektoren zerlegen? Merke: $\begin{eqnarray*} x_{3},x_{6}\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ (beliebig!)

Vielen Dank erstmal Klauss . Hmm soll die 2 Linear unabhängigen Vektoren so aussehen? :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\-2 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} x_{3} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\-1 \\ 0 \\ -5 \\ -4 \\ 1 \end{pmatrix} x_{6} \end{eqnarray*}$

11.03.2016, 19:34

klauss

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RE: Abb.
(war mal eben weg ...)

Der 3. Eintrag im 1. Vektor ist +1, aber sonst paßt's!
Ansonsten könnte man auch hier jeweils den Gegenvektor nehmen, damit weniger Minuszeichen auftreten.

11.03.2016, 22:29

MichaelKaprosky

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RE: Abb.

Zitat:

Original von klauss
(war mal eben weg ...)

Der 3. Eintrag im 1. Vektor ist +1, aber sonst paßt's!
Ansonsten könnte man auch hier jeweils den Gegenvektor nehmen, damit weniger Minuszeichen auftreten.

Vielen Dank Klauss. 3. Eintrag war schreibfehler bei mir... smile

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