Gleichung umformen mittels ln x

12.03.2016, 15:58

Hauke Schäffer

Gleichung umformen mittels ln x

Meine Frage:
Hallo! Ich lerne zZ für meine in Kürze anstehende Klausur, bin jedoch auf ein Problem gestoßen, das ich so nicht haben dürfte: dem Umformen von Gleichungen, welche die e-Funktion enthalten. Ein Beispiel ist diese Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{6e^{x} }{3e^{x} +1} =\frac{5}{e^{-x}+2} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung soll in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gelöst werden.
Klar ist, dass ich zur Lösung meines Problems den $\begin{eqnarray*} ln x \end{eqnarray*}$ nutzen muss. Die Logarithmus-Gesetze kenne ich. Was mir Kopfzerbrechen bereitet ist die Tatsache, dass beide Nenner einen Summanden enthalten. Wie muss ich die Gleichung umformen, damit ich sie lösen kann?

Meine Ideen:
Mein erster Versuch war, beide Nenner auf die jeweils andere Seite der Gleichung zu multiplizieren; dieser Weg hat mich allerdings nicht weitergebracht.
Eine andere Idee war, dass ich $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ aus dem rechten Bruch-Term mit umgekehrten Vorzeichen (im Exponenten) in den Zähler schreibe; analog dazu die $\begin{eqnarray*} 3\cdot e^{x} \end{eqnarray*}$ in den Zähler des linken Bruch-Terms. Das sieht dann bei mir folgendermaßen aus (meine zwei Folgeschritte habe ich direkt ergänzt):

$\begin{eqnarray*} \frac{6e^{x}}{3e^{x}+1} = \frac{5e^{x} }{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 6e^{x} \cdot 3e^{-x} = \frac{5e^{x} }{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 12e^{x} \cdot 6e^{-x}= 5 \end{eqnarray*}$

12.03.2016, 16:51

Leopold

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Wenn du den Bruch $\begin{align*} \frac{5}{\operatorname{e}^{-x} + 2} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \operatorname{e}^x \end{align*}$ erweiterst, ergibt sich $\begin{align*} \frac{5 \operatorname{e}^x}{1 + 2 \operatorname{e}^x} \end{align*}$ . Beachte das Distributivgesetz: $\begin{align*} a(b+c) = ab + ac \end{align*}$

Du hast in deinen Rechnungen schlicht sämtliche SUMMEN ignoriert und sie wie Produkte behandelt.

12.03.2016, 16:59

Hauke Schäffer

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Zitat:

Original von Leopold
Wenn du den Bruch $\begin{align*} \frac{5}{\operatorname{e}^{-x} + 2} \end{align*}$ mit $\begin{align*} \operatorname{e}^x \end{align*}$ erweiterst, ergibt sich $\begin{align*} \frac{5 \operatorname{e}^x}{1 + 2 \operatorname{e}^x} \end{align*}$ .

Okay, ich erweitere also den Bruch mit $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ - aber inwiefern hilft mir das? Letztlich steht immer noch eine Summe im Nenner. verwirrt

12.03.2016, 17:15

Leopold

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Mit $\begin{align*} u = \operatorname{e}^x \end{align*}$ hast du die Gleichung

$\begin{align*} \frac{6u}{3u+1} = \frac{5u}{2u+1} \end{align*}$

Das eigentliche Problem ist also gar nicht die Exponentialfunktion, sondern: Wie löst man eine Bruchgleichung?
Die Standardmethode: mit den Nennern durchmultiplizieren. Du erhältst danach eine quadratische Gleichung in $\begin{align*} u \end{align*}$ . Beachte das Distributivgesetz.

12.03.2016, 17:39

Hauke Schäffer

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Zitat:

Original von Leopold
Mit $\begin{align*} u = \operatorname{e}^x \end{align*}$ hast du die Gleichung

$\begin{align*} \frac{6u}{3u+1} = \frac{5u}{2u+1} \end{align*}$
.

Okay, soweit so gut. Ich habe nach der Substitution jetzt folgendermaßen umgeformt: Multiplikation der Nenner, sodass der Bruch "entfällt" und ich zwei quadratische Terme erhalte.

$\begin{eqnarray*} 6u(1+2u)=5u(3u+1) \end{eqnarray*}$ (ausmultiplizieren)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 12u^{2}+6u=15u^{2}+5u \end{eqnarray*}$ (subtrahiere $\begin{eqnarray*} 12u^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 5u \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow u=3u^{2} \end{eqnarray*}$

Hier habe ich aber glaube ich wieder einen Fehler gemacht - habe ich wieder das Distributivgesetz außer Acht gelassen?

EDIT: Muss ich die quadratische Gleichung in u lösen?

12.03.2016, 17:56

Leopold

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Du hast richtig gerechnet. Jetzt löse die quadratische Gleichung. (Hoffentlich bist du keiner von denen, die völlig unkreativ auf jede quadratische Gleichung die Lösungsformel loslassen.)

12.03.2016, 18:21

Hauke Schäffer

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Also, ich gehe zuerst von meinem letzten Ergebnis aus.

$\begin{eqnarray*} u=3u^{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich 2 Ideen:
1.) Ich bringe u auf die rechte Seite (mittels Subtraktion) und löse die quadratische Gleichung. Ich erhalte $\begin{eqnarray*} u_1 =2/3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 = 0 \end{eqnarray*}$ . Allerdings glaube ich, dass dies nicht der richtige Weg ist.

2.) Hier von bin ich mehr überzeugt: ich löse die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3u^{2} \end{eqnarray*}$ . Rechnen muss ich hier nicht, denn das Ergebnis wird 0 sein. Wenn ich jetzt eine Rücksubstitution vornehme erhalte ich den Wert $\begin{eqnarray*} 3\cdot (e^{0})^{2} = 3 \cdot 1^{2} =3. \end{eqnarray*}$ Jetzt mit ln x logarithmieren ergibt $\begin{eqnarray*} x=ln(3) \end{eqnarray*}$ .

12.03.2016, 18:26

Leopold

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$\begin{align*} 3u^2 - u = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ u \cdot (3u-1) = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ u = 0 \ \ \text{oder} \ \ u = \frac{1}{3} \end{align*}$

12.03.2016, 19:05

Hauke Schäffer

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Alles klar, und wie geht es weiter?

Das Kontrollergebnis auf dem Übungsblatt lautet L={-ln 3}.

12.03.2016, 22:08

Hauke Schäffer

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Thread Geschlossen!
Hat sich erledigt, ein Freund hat mir weitergeholfen und sich netterweise die Zeit zur Lösung der Aufgabe genommen. Danke an Leonard für die genommene Zeit und Hilfe! smile

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