Leistungsaufgabe | Schleusen

12.03.2016, 21:16

shoxi

Leistungsaufgabe | Schleusen

Ein Teich kann durch 3 Schleusen A, B und C gefüllt werden. A und B würden zur Füllung 72 Minuten brauchen, A und C 40 Minuten, B und C 72 Minuten.
In welcher Zeit wird der Teich gefüllt, wenn nur A bzw. nur B bzw. nur C allein geöffnet ist? Wie lange dauert die Füllung, wenn alle drei Schleusen geöffnet sind?

Also das wäre doch eine Aufgabe mit 3 Var.
Was ich raus bekommen habe ist :

I a + b = 72
II a+ c = 40
III b + c = 72

(Habe das Einsetzungsverfahren benutzt)

Und herausbekommen habe ich auch alle drei Werte, nur ich bin mir da nicht so sicher und wüsste auch nicht ob ich richtig gerechnet habe, weil die Ergebnisse meiner Meinung nach nicht korrekt sein können...

a=32 min
b=32 min
z=40 min

LG Andi.

12.03.2016, 21:29

shoxi

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Oh habe jetzt andere Werte rausbekommen...

Habe anstatt mit Minuten mit Stunden gerechnet...
Raus kam:
a=0.6h; 36 min
b=0.6h; 36 min
c=0.6h; 36 min

nur das kann wieder nicht Stimmen... Das liegt sicher an meinem Gleichungssystem...

12.03.2016, 21:35

Bürgi

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Guten Abend,

Deine Vermutung, dass Deine Ergebnisse falsch sind, ist richtig. Leider teilst Du uns nicht mit, woran Du das gemerkt hast ... verwirrt

Nehmen wir an, dass in den Teich die Menge T Wasser geht. Der Zufluss A liefert a VE/min (VE heißt Volumeneinheit). Die Zuflüsse B und C entsprechend. Dann wissen wir, dass gilt

$\begin{eqnarray*} 72 a + 72b = T \end{eqnarray*}$

Die folgenden Gleichungen entsprechend. Berechne a, b und c in Abhängigkeit von T.

12.03.2016, 21:48

shoxi

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Das wäre aber doch dann

I 72a + 72b = T
II 40a + 40b = T
III 72a + 72c = T

Und für T kann man dann 1 einsetzten oder? verwirrt

12.03.2016, 21:48

Eis Rot

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Edit: Ich lag falsch.

Schreibe mal einen rechenschritt.

12.03.2016, 21:49

shoxi

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Und dann müsste man das Einsetzungsverfahren benutzten falls ich richtige liege...

12.03.2016, 21:58

Bürgi

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Hallo,

im ersten Beitrag hattest Du noch geschrieben

Zitat:

I a + b = 72
II a+ c = 40
III b + c = 72

und nun heißt es

Zitat:

I 72a + 72b = T
II 40a + 40b = T
III 72a + 72c = T

Irgendwo musst Du Dich verschrieben haben.

Du kannst im Übriegn auch das Additionsverfahren anwenden.

12.03.2016, 22:01

shoxi

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I 72a + 72b = T
II 40a + 40c = T
III 72b + 72c = T

Entschuldigung... Bin nur gerade ziemlich gestresst weil ich es nicht verstehe. unglücklich

12.03.2016, 22:03

Bürgi

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Hallo,

damit können wir weiterrechnen:

1. Schritt: $\begin{eqnarray*} I - III \end{eqnarray*}$

Was stellst Du fest?

12.03.2016, 22:07

shoxi

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I und III verhalten bzw. sind gleich?

12.03.2016, 22:09

shoxi

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Das heißt wiederum das C=A ist, wenn ich mich nicht irre. verwirrt

12.03.2016, 22:15

Bürgi

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Sehr gut.

Ersetze c in II durch a und berechne a. (in Abhängigkeit von T!)

12.03.2016, 22:22

shoxi

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Bürgi ich habe gerade die Gleichung gelöst!
Habe als Ergebnis a=20min;b=52min und c=20 min raus bekommen und mit der Probe stimmt es auch. Big Laugh

12.03.2016, 22:24

Eis Rot

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Zitat:

Original von shoxi
Entschuldigung... Bin nur gerade ziemlich gestresst weil ich es nicht verstehe. unglücklich

Geht es dir auch um die herleitung des LGS?

Wenn z.B. schleuse A geöffnet wird, dann beschreibt die funktion
$\begin{eqnarray*} A(t)=a\cdot t \end{eqnarray*}$
die im laufe der zeit $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ in den teich fließende wassermenge.

Bei schleuse B ist es $\begin{eqnarray*} B(t)=b\cdot t \end{eqnarray*}$

Und wenn beide geöffnet sind ist es $\begin{eqnarray*} (A+B)(t)=at+bt \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} t=72\ min \end{eqnarray*}$ ist der teich voll, hat also seine max. füllmenge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ erreicht. Die 1. gleichung des LGS ist also
$\begin{eqnarray*} (A+B)(72)=72a+72b=T \end{eqnarray*}$
Genauso läuft es auch mit den anderen beiden gleichungen.

Ich bin dann wieder weg smile

12.03.2016, 22:27

Bürgi

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Hallo,

ich muss Dir einen herben Schock bereiten - aber Deine Ergebnisse können nicht stimmen:

Wenn A 20 min braucht umd den Teich zu füllen und B 52 min, dann brauchen beide zusammen mit Sicherheit keine 72 min.

Wenn a = c ist, was ergibt dann die Gleichung II?

12.03.2016, 22:35

shoxi

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Raus kommen tut dann für a bzw. c
20 Minuten das muss doch richtig sein... unglücklich

12.03.2016, 22:37

Bürgi

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Hallo,

II lautet:

$\begin{eqnarray*} 40a + 40c = T \end{eqnarray*}$

mit a = c ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 40a + 40a = T~\implies~80a=T~\implies~a=\frac T{80} \end{eqnarray*}$

Und was heißt das jetzt?

EDIT: Ich mach für heute Schluss. Bin morgen früh wieder online.

12.03.2016, 22:45

shoxi

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Da T ja 1 ist (Weils es ja die max. Menge ist) kommt für a= 0.0125h raus. Doch ich weiß nich was

a\equiv \frac{T}{80}

heißen soll... Was ich damit machen würde wäre einfach in den anderen Gleichungen das einfügen und weiter rechnen. unglücklich

12.03.2016, 22:48

ndr

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Zitat:

Original von shoxi
a\equiv \frac{T}{80}
(

Ich meine damit den Bruch T/80* (Ich bin "shoxie" habe mich kurz mit meinem Account eingeloggt, was ich vergessen habe.. Hammer

)

12.03.2016, 23:09

Eis Rot

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Ist das ober-/kursstufe? Kennst du das Gauß-Verfahren?

Wenn es bei geöffneten schleusen A und B 72 min dauert, wird es bei nur einer geöffneten schleuse ja länger als 72 min dauern. Heißt: a und b sind größer als 72.

13.03.2016, 00:01

Dopap

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ein kleiner Hinweis: Das Problem tritt öfters auf, z.B. brauchen 2 Arbeiter 2 verschiedene Zeiten um einen bestimmten Rasen zu mähen. Beide zusammen...
3 elektrische Widerstände werden parallel geschaltet, berechne den Ersatzwiderstand...

Für diese Probleme gilt: das Gesuchte ist das harmonische Mittel.

13.03.2016, 09:37

Bürgi

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Guten Morgen,

Zitat:

Da T ja 1 ist (Weils es ja die max. Menge ist) kommt für a= 0.0125h raus.
Doch ich weiß nich was $\begin{eqnarray*} a\equiv \frac{T}{80} \end{eqnarray*}$ heißen soll... Was ich damit machen würde wäre einfach in den anderen Gleichungen das einfügen und weiter rechnen.

So wie Du das geschrieben hast, ist es falsch:

Die Zeiteinheit ist Minuten und nicht Stunden
a ist eine Geschwindigkeitsangabe : $\begin{eqnarray*} \frac{VE}{min} \end{eqnarray*}$
Dein Ergebnis besagt, dass A ein Achtzigstel des Teichvolumens pro Minute in den Teich fließen lässt.

Wie lange braucht A also, bis der Teich gefüllt ist?

13.03.2016, 10:47

ndr

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Also das heißt das a=80min, und da ja A=C haben wir gleich auch C, nun nurnoch einsetzen und wir können B ausrechnen... Oder? verwirrt

(Langsam versteh ich es, wenn alle Leistungsaufgaben so lösbar sind)

13.03.2016, 11:27

Bürgi

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Hallo,

ich nehme an, dass Du das Richtige meinst, allerdings hast Du es falsch geschrieben:

1. Der Zufluss A braucht 80 min um den Teich zu füllen.

2. Der Zufluss A füllt den Teich mit $\begin{eqnarray*} a=\frac1{80} T \frac{(VE)}{min} \end{eqnarray*}$

Un genau diesen Wert musst Du nun in eine Gleichung einsetzen, die b enthält, z.B. I:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{72 min \cdot \frac1{80} T \frac{(VE)}{min}}_{\text{zusammenfassen!}} + 72 min \cdot b = T (VE) \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Ich habe die Volumeneinheiten in KLammern gesetzt, damit sie deutlich als Maßeinheiten zu erkennen sind.

... und jetzt diese Gleichung nach b auflösen. Du bekommst wieder eine Geschwindigkeitsangabe, nämlich welcher Bruchteil von T durch B pro Minute in den Teich fließt.

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