Kettenregel Laplacegleichung

13.03.2016, 14:01	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Kettenregel Laplacegleichung Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine kurze Frage zur Kettenregel die im folgenden dargestellt ist. Ich habe mich dumm und dämlich überlegt aber ich komme auf keinen grünen Zweig. Gegeben sei die zweidimensionale Laplacegleichung $\begin{eqnarray} - \Delta (u(x,y)) = 0 \end{eqnarray}$ auf dem Gebiet des Einheitskreises. Nun soll gelten x=rcos(phi), y=rsin(phi). Es folgt eine Substitution und mit der Kettenregel erhält man die Gleichung (siehe Anhang) Meine Ideen: Ich habe versucht die Kettenregel anzuwenden aber bei mir bleiben auch immer Sinus und Cosinus Terme stehen. Ich bräuchte nur einen Ansatz, was man wonach ableitet.Beste Grüße
14.03.2016, 09:49	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 1.Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x} \end{eqnarray}$ ergibt sich formal mittels Kettenregel wie folgt $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x}=\tfrac{\partial u}{\partial r}\tfrac{\partial r}{\partial x}+\tfrac{\partial u}{\partial \phi}\tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x} \end{eqnarray}$ Setze dort die konkreten Ableitungen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial r}{\partial x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray}$ ein, welche du durch Differenzieren folgender Umkehrtransformation der ebenen Polarkoordinaaten erhälst $\begin{eqnarray} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi=\arctan{\tfrac{y}{x}} \end{eqnarray}$ Danach berechne die die 2.Ableitung nach x, indem du die oben berechnete 1.Ableitung $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial u}{\partial x} \end{eqnarray}$ nochmals mittels Kettenregel ableitest, also $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial^2u }{\partial x^2}=\tfrac{\partial }{\partial x} \left ( \tfrac{\partial u}{\partial x}\right )=\tfrac{\partial }{\partial r}\left ( \tfrac{\partial u}{\partial x}\right )\tfrac{\partial r}{\partial x}+\tfrac{\partial }{\partial \phi}\left ( \tfrac{\partial u}{\partial x}\right )\tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray}$ . Auch hier muss man wieder die konkreten Ableitungen $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial r}{\partial x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray}$ einsetzen. Für die Ableitung nach y funktioniert alles genauso. Die Rechnung ist mit etwas Arbeit verbunden.
16.03.2016, 19:57	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Besten Dank

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »