Kurvenuntersuchung einer gebrochen-rationalen Funktion

14.03.2016, 00:31

Hauke Schäffer

Kurvenuntersuchung einer gebrochen-rationalen Funktion

Meine Frage:
Hallo! Mir liegt eine gebrochen-rationale Funktion vor welche ich auf Definitionslücken, Polstellen, hebbare Lücken, Asymptoten und den Schnittpunkt mit der y-Achse untersuchen soll.
Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{\left(x+1\right)^{2}\cdot \left(x^{2} +x-2\right) }{x^{3} +5x^{2} +6x} \end{eqnarray*}$

Meine Frage lautet: sind mein Ansatz und Rechenweg korrekt? Wenn nein, was habe ich falsch gemacht? Weiterhin noch ein sehr(!) wichtiger Punkt: wie funktioniert die Bestimmung der waagerechten Asymptote für den Fall "Zähler-Grad > Nenner-Grad"?

(Ich habe mich bereits damit beschäftigt: ich weiß, dass ich in diesem Fall den Zählergrad in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenen Term zerlegen muss, wobei mir der ganzrationale Term die Gleichung der Asymptote liefert. Meinen Ansatz diese Gleichung zu bestimmen, findet ihr unten.)

Meine Ideen:
Durch Berechnung der Nullstellen des Nenners habe bin ich die Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} D_f=\mathbb R \backslash\left\{ 0,-2,-3\right\} \end{eqnarray*}$ bestimmt. Weiterhin habe ich den Nenner der Funktion in faktorisierter Form aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{\left(x+1\right)^{2}\cdot \left(x^{2} +x-2\right) }{x^{3} +5x^{2} +6x}<br /> = \frac{\left(x+1\right)^{2}\cdot \left(x^{2} +x-2\right) }{x\cdot \left(x+2\right)\cdot\left(x+3\right) } \end{eqnarray*}$

Durch kürzen von $\begin{eqnarray*} \left(x+2\right) \end{eqnarray*}$ aus Zähler und Nenner bin ich auf folgende Vereinfachung der Funktion gekommen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{\left(x+2\right)^{2}\left(x-1\right)}{x\cdot \left(x+3\right) } \end{eqnarray*}$

Zudem habe ich aus diesem Schritt geschlossen, dass an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ eine hebbare Lücke vorliegt. Ebenso liegen bei den Werten $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=-3 \end{eqnarray*}$ Polstellen vor. (Ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt, habe ich nicht untersucht; mithilfe des Limes sollte das aber machbar sein.)
Ergänzend noch: an den Polstellen liegen damit senkrechte Asymptoten vor.

Mein Ansatz zur Bestimmung der waagerechten Asymptote war nun die Polynomdivision. Hier die Rechnung samt meinem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} (x^{3}+x^{2}-x-1)\div(x^{2}+3x)=x-2+\frac{5}{x} +Rest (-16) \end{eqnarray*}$

Der letzte Teil meiner Rechnung war die Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-Achse: hier habe ich die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{(x+1)^{2}\cdot (x-1)}{x\cdot(x+3)} \end{eqnarray*}$

verwendet, und für den Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ berechnet.

$\begin{eqnarray*} f(0)=\frac{(0+1)^{2}\cdot(0-1)}{0\cdot(0+3)} \end{eqnarray*}$

Aus der Rechnung geht hervor, dass die Funktion an der Stelle Null nicht definiert ist (was eigentlich schon aus der Definitionsmenge ersichtlich ist). Daraus habe ich gefolgert, dass es keinen Schnittpunkt mit der y-Achse gibt.

14.03.2016, 02:01

WebFritzi

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Alles ist richtig, nur bei der Asymptote hakelt es etwas. Wieso sollte diese "waagerecht" sein? Das ist sie nämlich nicht. Du hast (ganz richtig) raus: $\begin{eqnarray*} f(x) = x-2+\frac 5 x - \frac{16}{x(x+3)} \end{eqnarray*}$ . Es geht bei (nicht senkrechten) Asymptoten um das Verhalten von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ . Nun sind die Terme $\begin{eqnarray*} \frac 5 x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{16}{x(x+3)} \end{eqnarray*}$ irrelevant, wenn |x| sehr groß ist. Daher ist die Asymptote gegeben durch $\begin{eqnarray*} a(x) = x-2 \end{eqnarray*}$ . Dagegen schmiegt sich die Kurve für große x an. Und du siehst, dass die Asmptote nicht waagerecht ist, sondern "schräg".

14.03.2016, 02:37

Hauke Schäffer

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Zitat:

Original von WebFritzi
Alles ist richtig, nur bei der Asymptote hakelt es etwas. Wieso sollte diese "waagerecht" sein? Das ist sie nämlich nicht. [...] Und du siehst, dass die Asmptote nicht waagerecht ist, sondern "schräg".

Okay, es freut mich, dass zumindest die Rechnung schon einmal stimmt. smile

Ich kenne mich mit waagerechten und schiefen Asymptoten leider noch nicht so gut aus, ich habe mich diesbezüglich aber schon etwas schlau gemacht. (was nicht heißt, dass ich es verstehe unglücklich

)
Woran erkenne ich denn, dass die Asymptote schief ist? Was ich durch die Polynomdivision erhalten habe, ist ja eigentlich eine Geradengleichung vom Typ y=mx+b (wenn ich das richtig verstanden habe). Dann ist doch der Schnittpunkt mit der y-Achse (also der Punkt wo sich diese Gerade die y-Achse schneidet beim Wert -2. Merkwürdig ist allerdings, dass die von mir gezeichnete Funktion der aus dem Plotter entspricht (der mir auch eine schräge Gerade anzeigt).

14.03.2016, 08:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Hauke Schäffer
Woran erkenne ich denn, dass die Asymptote schief ist? Was ich durch die Polynomdivision erhalten habe, ist ja eigentlich eine Geradengleichung vom Typ y=mx+b (wenn ich das richtig verstanden habe). Dann ist doch der Schnittpunkt mit der y-Achse (also der Punkt wo sich diese Gerade die y-Achse schneidet beim Wert -2.

Alles, was du hier schreibst, stimmt. So schlecht scheint dein Verstand also gar nicht zu sein. smile

Die Asymptote ist die (schräge) Gerade y = x-2. Deren Schnittpunkt mit der y-Achse spielt für die Funktion aber keine Rolle, da dieser bei x = 0 ist, die Asymptote aber nur für große x relevant wird.

Zitat:

Original von Hauke Schäffer
Merkwürdig ist allerdings, dass die von mir gezeichnete Funktion der aus dem Plotter entspricht (der mir auch eine schräge Gerade anzeigt).

Was ist hier jetzt merkwürdig?

14.03.2016, 14:38

Hauke Schäffer

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Ich glaube, ich kann meine Frage bzgl. der Asymptote jetzt präzisieren (nicht zuletzt dank deiner Hilfe smile

); und zwar habe ich ja jetzt die Geradengleichung der Asymptote, nämlich y=x-2.

Offenbar hapert es hier bei mir an den Grundlagen beim Einzeichnen einer solchen Geraden. Die Steigung der Geraden ist offenbar 1, und wenn ich mich jetzt nicht total irre stellt die -2 eine Verschiebung dar. Jetzt der Knackpunkt: in welche Richtung erfolgt die Verschiebung? Und wie und wo zeichne ich die Gerade dann ein?

14.03.2016, 14:48

Mathema

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Das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Von dort geht man dann von der Steigung den Nenner nach rechts und den Zähler nach oben (bei positiver Steigung) oder nach unten (bei negativer Steigung). In deinem Fall also eine LE nach recht und eine LE nach oben.

14.03.2016, 15:15

Hauke Schäffer

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Okay, soweit komme ich mit. Ich habe dem Plot zufolge also eine schiefe Asymptote mit dem y-Schnittpunkt -2. Das Vorzeichen des Restterms ist negativ und dementsprechend verläuft der Graph unterhalb der schiefen Asymptote. Nur sieht der Plot der gesamten Funktion so aus:
[attach]41133[/attach]

Hierbei sieht es so aus, als wenn der Graph von oberhalb der schiefen Asymptote verläuft und nicht unterhalb. Wie kommt das?

14.03.2016, 15:41

Mathema

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Für große x ist der Term $\begin{eqnarray*} \frac{5x-1}{x(x+3)} \end{eqnarray*}$ sicherlich positiv, also liegt der Graph oberhalb der Asymptote. Für kleine x wird der Term negativ ( $\begin{eqnarray*} \frac{-}{+} \end{eqnarray*}$ ), also liegt der Graph unterhalb der Asymptote.

14.03.2016, 15:46

Hauke Schäffer

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Zitat:

Original von Mathema
Für große x ist der Term $\begin{eqnarray*} \frac{5x-1}{x(x+3)} \end{eqnarray*}$ sicherlich positiv, also liegt der Graph oberhalb der Asymptote. Für kleine x wird der Term negativ ( $\begin{eqnarray*} \frac{-}{+} \end{eqnarray*}$ ), also liegt der Graph unterhalb der Asymptote.

Das heißt also, wenn ich mich dem der Geraden von rechts her annähere erhalte ich einen positiven Wert, während eine Annäherung von links negative Wert ergibt. Okay, damit hat sich meine Frage geklärt. Danke für eure Hilfe, ihr seid klasse! Freude

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