Laurentreihe komplexer Logarithmus

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Imladris Auf diesen Beitrag antworten »
Laurentreihe komplexer Logarithmus
Ich möchte für den komplexen Logarithmus die Laurentreihe finden. (Ich weiß, dass hier schon x-Mal über die Laurentreihe diskutiert wurde, allerdings habe ich auf eine erste Suche hin meist nur Entwicklungen für gebrochen rationale Funktionen gefunden und eher nicht für so einen Fall. Falls ich aber einen Artikel übersehen habe, dürft ihr mir gerne den Link dazu hier lassen smile )
Meines Wissens ist der komplexe Logarithmus (also im Hauptzweig):
ln(z)=ln|z| + arg(z)

Meine Ideen:
- zuallererst habe ich mir überlegt, dass es möglich ist, diese Laurantreihe aufzustellen, weil der Logarithmus wie oben definiert auf ganz C ohne Null holomorph ist. Wenn man also mit dieser Kreisringüberlegung arbeitet ist r=0 und R= (ist das so weit überhaupt erst mal richtig?)
- Die Laurantreihe selbst bereitet mir ein wenig Probleme. Ich habe zwei Ansätze, komme aber mit beiden nicht recht weiter:
1. Für den Logarithmus selbst kenne ich ja eine Reihe und arg kann ich ja mithilfe des Arkustangens schreiben, welcher wiederum auch eine Reihe besitzt.Allerdings arbeite ich sowohl im Betrag als auch im Arcustangens nicht mit meiner komplexen Zahl z im gesamten sondern betrachte gesondert ihren Realteil x und ihren Imaginärteil y. Ich habe also bis hier

Ich kann an dieser Stelle zwar anfangen die Summen zusammenzufassen aber ich sehe nicht, dass ich da in irgendeiner Weise wieder schön auf mein z= x + iy komme. Habe ich einfach zu früh aufgegeben oder ist das wirklich eine Sackgasse?
2. Mein zweiter Ansatz war mit r < s < R

Also in meinem Fall:

Ich glaube an der Stelle versagen meine nicht vorhandenen integrationskünste. Betrachten wir jetzt z als Vektor und schreiben den Einheitskreis zum Quadrat um? Ich habe mal gehört wie man komplex integriert, aber irgendwie ist alles wieder weg und das, was Papa Google so ausspuckt macht mich nicht recht glücklich. Hat da jemand einen Link zu einem guten Skript oder eine Buchempfehlung?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

leider hast du ganz am Anfang bereits einen Fehler, sodass dein Vorhaben zum Scheitern verurteilt ist.
Der Logarithmus ist nicht holomorph auf . Man muss die Ebene immer in einer Richtung von 0 beginnend schlitzen, ansonsten gibt es nichtmal eine stetige Fortsetzung des Logarithmus. Daher lässt sich der Logarithmus um Null garnicht in eine Laurentreihe entwickeln, egal mit welchem Radius. Um jeden anderen Punkt geht das schon, dann ist es aber eine einfache Potenzreihe, deren Konvergenzradius immer genau der Abstand des Entwicklungspunktes zum Ursprung sein wird.
Imladris Auf diesen Beitrag antworten »

Oh verdammt unglücklich Was meinst du denn mit Schlitzen? Ohhh jetzt seh ichs: Die ganze imaginäre Achse ist ein Problem - das meintest du, oder?
Imladris Auf diesen Beitrag antworten »

oh und weißt du zufällig wie das allgemein aussieht: Wenn ich eine Funktion habe, die sich aus zwei Potenzreihen zusammensetzt, die aber unterschiedliche Entwicklungspunkte haben mit ihren eigenen Konvergenzradien. Kann ich dann "einfach" als Definitionsmenge der gesamten Funktion die Schnittmenge der beiden Kreise nehmen oder mache ich mir das zu einfach?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Oh verdammt unglücklich Was meinst du denn mit Schlitzen? Ohhh jetzt seh ichs: Die ganze imaginäre Achse ist ein Problem - das meintest du, oder?


Nein, nicht zwangläufig die imaginäre Achse. Man kann jeden beliebigen Strahl in der komplexen Ebene, der bei Null beginn aus dem Definitionsbereich entfernen und erhält dann einen Zweig des Logarithmus. Insbesondere müsste man nicht der ganze imaginäre Achse entfernen, sondern nur die positive imaginäre Achse (oder die negative). Das Üblichste ist, die negative reelle Achse zu entfernen.

Zitat:
Wenn ich eine Funktion habe, die sich aus zwei Potenzreihen zusammensetzt, die aber unterschiedliche Entwicklungspunkte haben mit ihren eigenen Konvergenzradien. Kann ich dann "einfach" als Definitionsmenge der gesamten Funktion die Schnittmenge der beiden Kreise nehmen oder mache ich mir das zu einfach?


Wenn eine Funktion durch die Summe zweier Potenzreihen gegeben ist (meinst du das?), dann kannst du das so machen, ja.
Imladris Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, voll lieb, dass du immer so schnell antwortest! smile Danke dir an dieser Stelle mal für deine Mühe!

also. Zu dem Schlitzen noch mal: Ich hatte deshalb gedacht ich muss dich ganze komplexe Achse aus der Definitionsmenge verschwinden lassen, weil ich ja im Arcustangens durch den Realteil teile. Dadurch war ich erst darauf gekommen. Nachdem du aber den Zweig des Logarithmus ansprichst, nehme ich an, ich war da völlig auf dem Holzweg. Der Zweig hat ja wie bei der Wurzel mit der Eindeutigkeit zu tun, richtig? In unserem Fall damit, dass das argument von z sich alle 2 pi wiederholt. Das heißt, nur damit ich das jetzt richtig verstehe, wir nehmen den Streifen heraus, um die Eindeutigkeit zu garantieren, oder?

Und zum zweiten Punkt *verlegen hüstel* na ja, ganz eigentlich werden die multipliziert. Bevor ich dich armen Menschen da so arg mit Fragen bombadiere: kannst du mir ein Buch/ein Paper/ ein Vorlesungsskript oder etwas ähnliches empfehlen, das sich mit der Verknüpfung von Potenzreihen und damit zusammenhängend eben mit unterschiedlichen Entwicklungspunkten und Radien beschäftigt?
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Multiplikation gilt das selbe. Man muss sich einfach überlegen, was Sinn macht. Wenn wir zwei Faktoren multiplizieren, müssen die bloß beide definiert sein. Hier kannst du also den Schnitt beider Definitionsbereiche zugrunde legen. Würdest du etwa dividieren wollen, müsstest du vom Schnitt der Definitionsbereiche noch die Nullstellen des Nenners entfernen. Wie gesagt, einfach überlegen, was Sinn macht Augenzwinkern

Zitat:
kannst du mir ein Buch/ein Paper/ ein Vorlesungsskript oder etwas ähnliches empfehlen, das sich mit der Verknüpfung von Potenzreihen und damit zusammenhängend eben mit unterschiedlichen Entwicklungspunkten und Radien beschäftigt?


Eine Quelle, die sich genau darauf spezialisiert, kenne ich nicht. Aber frag ruhig, wenn es mir zu viel wird, sage ich schon Bescheid.
Imladris Auf diesen Beitrag antworten »

oh, das ist sehr lieb.
Also, es ging ja darum, dass ich sage ich habe , wobei ich weiß, dass f(x) Entwicklungspunkt 0 hat und Konvergenzradius 1. Könnte ich dann sagen, dass ich den Entwicklungspunkt des ln für jeden Punkt z mit |z|<1 und Re(z)>0 so wählen kann, dass z auch innerhalb des Konvergenzradius des ln liegt? Ich habe mir das nur bildlich vorgestellt: Du meintest ja, dass ich ln überall entwickeln kann so lange der Realteil des Entwicklungspunktes positiv ist (oder habe ich dich da falsch verstanden?), das heißt, wenn das z jetzt zum Beispiel nun sehr nahe an i liegt, dann könnte ich ja den Entwicklungspunkt entsprechend mit Imaginärteil 1 wählen oder mit entsprechend größerem Realteil? Wie gesagt, das hab ich mir nur bildlich vorgestellt. Falls das jetzt zu konfus herüber kommt, kann ich auch gerne ein Bild zeichnen und mal anhängen^^
Imladris Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bins noch mal Augenzwinkern Ich wollte jetzt mal unsere komplexe Logarithmusentwicklung in imaginärer Richtung verschieben, wenn ich eben zum Beispiel einen Punkt wähle, für den gilt Re<Im, dann wäre das in unserem typischen Logarithmus ja nicht drin. Ich habe mir hier auf einem anderen Thread angeschaut, dass man den Entwicklungspunkt einer Potenzreihe ja verschieben kann, indem man eben statt schreibt und dann das x_0 mit der Binomischen Formel herausnimmt, das man nicht mag. Ich dachte erst, ich könne den Entwicklungspunkt im komplexen ja dann auch einfach verschieben, aber dadurch dass wir den komplexen Logarithmus ja mittels reeller Reihen berechnen, sehe ich da grad nicht, wie man das schön weiter machen könnte:

und in beiden Funktionen ist das mit dem Verschieben des Entwicklungspunkten plötzlich nicht mehr einfach durch ergänzen und Binomische Formel drin... Kann ich da den Entwicklungspunkt praktisch überhaupt verschieben oder ist das nur theoretisch möglich?

wie gesagt, wenns dir zu blöd ist mit meinen Fragen oder du sagst, ich soll dafür mal einen neuen Thread erstellen, einfach Bescheid sagen smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich würde erstmal davon wegkommen, den Logarithmus mit Hilfe von zu entwickeln. Für die Entwicklung in eine Potenzreihe um einen Punkt brauchst du den Funktionswert und die Ableitungen in diesem Punkt. Beides ist leicht zu bestimmen, weil die Ableitungen des Logarithmus so einfach sind.

Zitat:
Du meintest ja, dass ich ln überall entwickeln kann so lange der Realteil des Entwicklungspunktes positiv ist (oder habe ich dich da falsch verstanden?)


Da hast du mich falsch verstanden. Es gibt nicht einen im Komplexen, es gibt verschiedene Zweige. Insbesondere gibt es außerhalb der Null immer einen Logarithmuszweig, der dort in einer Umgebung holomorph ist. Damit kannst du den Logarithmus überall außerhalb der Null entwickeln und bekommst immer eine Potenzreihe heraus, die in einem Kreis konvergiert, der gerade die Null nicht enthält.


Bitte nutze diese beiden Informationen erstmal, um etwas Ordnung in deine Gedanken zu bringen. Gerade deine komische Entwicklungsart ( Augenzwinkern ) bringt unnötige Komplexität herein. Vielleicht erübrigen sich deine Probleme dann bereits.
Imladris Auf diesen Beitrag antworten »

ah, ich glaube ich habe jetzt verstanden, wie du das meinst. Ich hatte irgendwie nicht gewusst, dass man Taylor auch für komplexe Funktionen anwenden kann, aber jetzt habe ich es mal gegoogelt und auch ein Vorlesungsskript gefunden, dass sagt, dass das natürlich geht. Ich habe für meine überlegung einfahc mal angenommen, dass der komplexe Logarithmus dieselbe Ableitung hat wie der relle (stimmt das?), also

was mich zu der reihe um Entwicklungspunkt a bringt (also da hab ich dann schon gekürzt):

und da kann ich (so lange a eben nicht = 0 ist) für jeden beliebigen Entwicklungspunkt a eine Reihe finden, richtig?
Und das mit den Zweigen, da habe ich mir eben mal das Bild bei wikipedia angesehen: Wenn ich sagen würde ich will eine stetige Funktion definieren, dann muss ich aufpassen. Wenn ich jetzt zum Beispiel alles um die Null herum (ohne die Null) definieren wollte (also indem man einzelne Entwicklungen aneinander koppelt), ginge das schlicht nicht, weil wir ja immer irgendwo den von dir genannten Streifen herausschneiden müssten. Und über diesen Streifen "drüber" könnte man einfach nichts stetiges "basteln" (sorry für die umgangssprachliche Ausdrucksweise, ich versuch grad für mich selbst klar zu werden^^). Habe ich das jetzt alles richtig verstanden?
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