Kreis Beweis

14.03.2016, 19:00

MichaelKaprosky

Kreis Beweis

Meine Frage:
Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Kreise in der Ebene , mit $\begin{eqnarray*} n > 0 \end{eqnarray*}$ , die Ebene in $\begin{eqnarray*} n^2-n+2 \end{eqnarray*}$ Regionen unterteilen, wenn sich je zwei der Kreise in genau 2 Punkten schneiden und je 3 Kreise keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

Meine Ideen:
Ich bin mittels Induktion irgendwo gelandet aber hängen geblieben...

IA : n = 1 , Kreis Unterteilt in 2 Regionen.

IV : gilt auch für n -> n+1

IS : $\begin{eqnarray*} (n+1)^2-(n+1)+2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} n^2 + 2n + 2-n-1+2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} n^2+n+3 \end{eqnarray*}$ ... hmm ich habe aber nichts weiter.. was soll ich dann hier weiter tun .. danke für jeden logischen Tipp

14.03.2016, 20:54

HAL 9000

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Zunächst ist da ein Rechenfehler: Es ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2-(n+1)+2 = n^2 + 2n + 1-n-1+2 =n^2+n+2 \end{eqnarray*}$ , also genau $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ mehr als in der Induktionsvoraussetzung.

Und dann inhaltlich: Der neu hinzugekommene Kreis schneidet jeden der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vorherigen Kreise in jeweils zwei Punkten, das macht insgesamt $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ Schnittpunkte auf diesem neuen Kreis, die insgesamt auch genau $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ Bogenstücke begrenzen...

15.03.2016, 11:34

Elvis

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Ab n=5 verlässt mich meine Vorstellungskraft. Können sich n Kreise in jeweils 2 Punkten schneiden ?

15.03.2016, 13:01

HAL 9000

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Ja, eine solche Kreiskonfiguration mit maximaler Regionenzahl anzugeben ist sicher schwieriger als bei dem analogen Problem mit $\begin{align*} n \end{align*}$ Geraden und $\begin{align*} \frac{n^2+n+2}{2} \end{align*}$ Regionen: Dort reicht es ja, wenn keine zwei Geraden parallel sind.

15.03.2016, 13:02

MichaelKaprosky

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Kreis Bws
Vielen Dank Hal/ Elvis für den Hinweis. Ich glaube ich habe es jetzt hingekriegt.

Induktionsannahme : Die Aussage gilt für n Kreise .

Induktionsschritt : Wenn wir die n+1 Kreises zeichnen , stehen genau 2n Schnittpunkte zu den vorherigen n Kriesen damit entstehen auch noch 2n neue Regionen zu dem vorhandenen Regionen,

dh.

$\begin{eqnarray*} n^2-n+2+2n = (n+1)^2-2n-1-n+2 = (n+1)^2 - (n+1) +2 \end{eqnarray*}$ .

Damit die Aussage $\begin{eqnarray*} \forall n>0 \end{eqnarray*}$ kreis bewiesen.

15.03.2016, 13:40

HAL 9000

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Wobei ich die $\begin{align*} 2n \end{align*}$ Bogenstücke deshalb erwähnt habe, weil das letztlich die Kurven sind, die alte Regionen jeweils in zwei neue zerteilen, d.h. aus $\begin{align*} 2n \end{align*}$ alten Regionen werden $\begin{align*} 4n \end{align*}$ neue.

15.03.2016, 16:40

MichaelKaprosky

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wobei ich die $\begin{align*} 2n \end{align*}$ Bogenstücke deshalb erwähnt habe, weil das letztlich die Kurven sind, die alte Regionen jeweils in zwei neue zerteilen, d.h. aus $\begin{align*} 2n \end{align*}$ alten Regionen werden $\begin{align*} 4n \end{align*}$ neue.

aha ..

danke

16.03.2016, 16:14

outSchool

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RE: Kreis Beweis
Nachdem der Threadsteller mit seiner Antwort zufrieden ist, möchte ich noch ein paar Anmerkungen loswerden.

Zitat:

Original von MichaelKaprosky
Meine Frage:
Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Kreise in der Ebene , mit $\begin{eqnarray*} n > 0 \end{eqnarray*}$ , die Ebene in $\begin{eqnarray*} n^2-n+2 \end{eqnarray*}$ Regionen unterteilen, wenn sich je zwei der Kreise in genau 2 Punkten schneiden und je 3 Kreise keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben.

1. Jeder Kreis schneidet jeden anderen Kreis in zwei Punkten.
2. Wenn sich jeder Kreis mit jedem anderen Kreis in zwei Punkten schneidet, können "je 3 Kreise keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben". Diese Aussage ist falsch.

Zitat:

Original von Elvis
Ab n=5 verlässt mich meine Vorstellungskraft. Können sich n Kreise in jeweils 2 Punkten schneiden ?

HAL9000 hat ja schon eine Antwort darauf gegeben.

Im folgenden Bild ist eine Konstruktion (mit Lineal und Zirkel) für n=6 gegeben.

Alle 6 Kreise haben den gleichen Radius (hier z. B. r = 4 cm).
Auf der x-Achse wird der Mittelpunkt des ersten Kreises bei $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ ( in diesem Beispiel $\begin{align*} x_0 = 2 cm \end{align*}$ ) festgelegt.
Die restlichen Mittelpunkte der Kreise werden durch Drehung um jeweils 60° und der Distanz $\begin{align*} |d| = x_0 \end{align*}$ festgelegt.
Die Konstruktion vereinfacht sich, wenn Symmetrien genutzt werden.
So kann man zuerst die Kreise im 1. und 4. Quadranten zeichnen und diese dann auf den 2. und 3. Quadraten spiegeln.
Andere Spiegelungen ergeben sich, wenn man die Figur um 60° dreht.

[attach]41142[/attach]

Das nächste Bild ist eine Konstruktion für n = 10.
Zuerst wurde im 1. und 4. Quadranten zusammen fünf Kreise gezeichnet und dann auf den 2. und 3. Quadranten gespiegelt.
Betrachtet man nun die Regionen als Schale (wie bei einer Zwiebel) um die innere Region, so sieht man, dass sich auf jeder Schale n Regionen befinden.
Die innere Region ist der Bereich um den Koordinationenursprung, die äußere Region, die außerhalb der Abbildung.
Das ergibt 2 Regionen.
Zählt man jetzt, wie in der Abbildung, die Anzahl der Schalen, so ergibt sich für jede Schale "10 Regionen".
Die Anzahl der Schalen (blau) ist in diesem Beispiel gleich 5 und die Anzahl der Schalen (gelb) ist 4.

Zur Ausgangsfrage: Anzahl der Regionen ist $\begin{align*} n^2 - n +2 = n\cdot (n-1)+2 \end{align*}$
n ist die Anzahl der blauen Schalen, (n-1) ist die Anzahl der gelben Schalen und 2 ist die innere und äußere Region.

Was passiert nun, wenn man n gegen unendlich gehen lässt?

Mein Sohn (10 Jahre alt) stellte mir die Frage: Was hat keinen Anfang und kein Ende und ein Loch?
Antwort: Donat.

Guten Appetit.

[attach]41145[/attach]

17.03.2016, 10:42

Elvis

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Sehr schöne Bilder Freude

Danke. Wenn man in diesen Konstruktionen Kreise weglässt, ergeben sich (weniger symmetrische) Konstruktionen mit weniger Kreisen.

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Kreis Beweis

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