Epsilon-Kriterium (Supremum, Infimum beweisen)

15.03.2016, 15:07	RWTHstudi	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon-Kriterium (Supremum, Infimum beweisen) Meine Frage: Hi, ich find im Internet leider weder Beispiele noch Videos oder ähnliches, wo jemand inf/sup mit dem epsilon-Kriterium beweist. Ich berechne das Supremum indem ich das n einer Folge gegen unendlich laufen lasse. Und das infimum, mit a1 also das erste Glied der Folge (Wenn $\begin{eqnarray} n \in N \end{eqnarray}$ ) Doch ist das ja kein "richtiger" Beweis. Hier fand ich den allg. Beweis des sup/inf, stehe jedoch aufm Schlauch, was ich machen muss: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_...mum_und_Infimum "Für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} y \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s-\epsilon < y \end{eqnarray}$ s ist das Supremum, sagen wir bspw. bei der Folge 1/n, wäre das ja 1. Also $\begin{eqnarray} 1-\epsilon<y \end{eqnarray}$ Was muss ich jetzt machen? Nach epsilon auflösen? Könnte mir jemand ein konkretes Beispiel geben? Meine Ideen: Ich denke ich muss nach epsilon auflösen, aber dann hab ich ja immernoch y und epsilon als Unbekannte oder muss ich y speziell wählen?
17.03.2016, 19:22	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis von dem du sprichst, ist ein reiner Existenzbeweis, d.h. er macht keine aussage darüber wie du das Supremum bzw. Infimum bestimmst. Veranschaulicht: Nimm die Funktion $\begin{align} f(x)=x \end{align}$ mit $\begin{align} \mathbb{D}_f=[0;1] \end{align}$ , dann ist klar: Es liegen zwei Extrema vor, nämlich die Randwerte. Das Supremum ist hier auch klar: $\begin{align} sup(f(x))=1 \end{align}$ d.h. es gilt $\begin{align} f(x) \leq 1 \ \forall x\in \mathbb{D}_f \end{align}$ offensichtlich gilt dann auch: $\begin{align} f(x)- \epsilon<f(x) \leq 1 \geq 1- \epsilon \ \forall \epsilon>0 \end{align}$ somit folgt, wenn ein Supremum existiert, dass man ein Epsilon so bestimmen kann, dass ein Funktionswert größer ist, als das Supremum minus ein Epsilon. Da y dein ,,Folgenglied" ist: Bei deiner Folge $\begin{align} \{a\}_{n=1}^{\infty} \end{align}$ mit $\begin{align} a_n=\frac{1}{n} \land n \in \mathbb{N} \end{align}$ gilt also $\begin{align} 1-\epsilon < \frac{1}{n} \\ 1-\frac{1}{n}<\epsilon \end{align}$ . Die einzige Aussage die du schließen kannst ist, dass $\begin{align} 1-\frac{1}{n} \end{align}$ echt kleiner als das gesuchte $\begin{align} \epsilon \end{align}$ ist. Herzlich willkommen im Board, von einem anderen RWTH-Studenten Sollten noch Fragen bestehen: Stell sie konkret, damit wir dir helfen können!

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