127 - Die Ultra-Primzahl?

15.03.2016, 15:21

Justice

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127 - Die Ultra-Primzahl?

127 ist die erste Super-Super-Super-Super-Super-Primzahl (Eine "Super-Primzahl", ist die x-te Primzahl, welche die Position x selber auch Prim ist.)

Das heisst sie ist die:
31ste Prim
11te Super-Prim
5te Super-Super-Prim
3te Super-Super-Super-Prim
2te Super-Super-Super-Super-Prim
-Zahl

und somit die kleinste Primzahl die bis zur fünten Super-Generation "überlebt". (Wer noch nicht genug Primverschwörungszahlen hier gesehen hat: Die letzte Generation von 127, also 5 ist so neben bei eine Super-Super-Primzahl, haha fall gleich vom Stuhl).

Sie ist auch, und nicht nur, eine wunderschöne Mersenne-Primzahl: $\begin{eqnarray*} 2^{7}-1=1111111_{2} \end{eqnarray*}$
Sondern auch die kleinste, bis jetzt bekannte Trippel-Mersenne-Primzahl, welche selber in der Mersenne-Form $\begin{eqnarray*} 2^{p}-1 \end{eqnarray*}$ , p=127 wieder eine Mersenne-Primzahl ergibt (also eine Quadruppel-Mersenne-Primzahl).

Als Vergleich, die Doppel-Mersenne-Primzahl 7 ist die 4te Primzahl und ist somit keine "Super-Primzahl"

Klar ist es nur Spielerei, mit wahrscheinlich nicht wirklich bedeutenden Eigenschaften. Trotz allem hebt sie sich, irgendwie von den Anderen Zahlen bzw. Primzahlen ab. Oder nicht?
Mir ist auch klar, dass man immer irgendwo, irgendwelche Muster erkennen kann, wenn man Sie finden will... aber trotzdem ist hier meiner Meinung nach ist mit 127 eine gewissen Schönheit entstanden, haha.

Interessant wäre noch ob die Quadruppel-Mersenne-Primzahl $\begin{eqnarray*} 1.7014118 * 10^{38} \end{eqnarray*}$ die "Super-Prim-Evolution" überleben würde, da ja die Primzahlen je grösser Sie sind immer seltener werden.

Überigens die 127ste Primzahl: $\begin{eqnarray*} 709 \end{eqnarray*}$ ist die:
31ste Super-Prim
11te Super-Super-Prim
5te Super-Super-Super-Prim
3te Super-Super-Super-Super-Prim
2te Super-Super-Super-Super-Super-Prim
1te Super-Super-Super-Super-Super-Super-Prim
-Zahl

Die jeweilige Primzahlen in der xten-Super-Gen. mit Position, 2,3,5,11,31,127 überleben immer, bis sie zur ersten yten-Super-Gen. gehört, und dann "stirbt" (da ja 1 nicht prim ist).
Funktioniert das für 709 (709te Primzahl ist $\begin{eqnarray*} 5381 \end{eqnarray*}$ ) auch??? Wäre das nicht theoretisch ein Muster wenn das für unendlich viele Schritte gelten würde? Nur weil man ja sagt, das bis heute KEINE Muster entdeckt wurden...

Was meint ihr? Nur dumme Zahlenspielchen, oder doch eine gewisse Eleganz?

15.03.2016, 15:51

HAL 9000

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Sheldon Cooper sieht das anders...
Die ultimative Primzahl ist natürlich die 73. Big Laugh

Big Laugh

15.03.2016, 16:12

Justice

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5381 ist übrigens die nächste Super-Super......-Primzahl

Somit könnten wir sagen:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,... 127, ..709,..5381,.. sind Primzahlen (nur durch 1 und sich selber Teilbar)

3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, ..709,..5381,.. sind Super-Primzahlen (erfüllte alle vorhergehenden Eigenschaften plus: x-te Auflistungs-Position ist prim)

2,3,5,11,31,127,709,5381,... sind Mega-PrimZahlen (erfüllte alle vorhergehenden Eigenschaften plus: die x-te Auflistungs-Position aller y-ten Super-Primzahl-Generationen ist und bleibt für jedes y prim)

3,31,127,... sind Hyper-Primzahlen (erfüllte alle vorhergehenden Eigenschaften plus: sind selber Mersenne-Primzahl und ergeben in der Mersenne-Form als Exponent wieder eine Mersenne-Zahl.)

3,127,... sind Uber-Primzahlen (erfüllte alle vorhergehenden Eigenschaften plus: Sie habe nur Mersenne-Primzahlen als Exponenten in der Mersenne-Primzahl-Exponenten-Kette.)

127 ist die Ultra-Primzahl (erfüllte alle vorhergehenden Eigenschaften plus: die Wahrscheinlich grösste Mersenne-Primzahl, die keine Nicht-Mersenne-Prim-Basen hat in der Mersenne-Primzahl-Exponenten-Kette.)

Note: Mersenne-Primzahl-Exponenten-Kette: $\begin{eqnarray*} 2^{2^{2^{2^{2^p-1}-1}-1}-1} \end{eqnarray*}$ und für Uber-Primzahlen gilt p= 1ste Prim- und/oder 1ste Mersenne-Prim-Zahl

15.03.2016, 16:16

Justice

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RE: Sheldon Cooper sieht das anders...

Zitat:

Original von HAL 9000
Die ultimative Primzahl ist natürlich die 73. Big Laugh

Big Laugh

Blasphemie!!!

;D

15.03.2016, 16:16

HAL 9000

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Na wie schön. Falls du im Zahlenrausch noch irgendwann Zeit findest, kannst du bitte auch noch hier eine kurze Rückmeldung geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.03.2016, 16:41

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Na wie schön. Falls du im Zahlenrausch noch irgendwann Zeit findest, kannst du bitte auch noch hier eine kurze Rückmeldung geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab ich :P
Was haltest du nun von der 127?
Die Argumente in TBBT für 73 sind ja noch viel verspielter... :P
Bei der 127 sind die Eigeschaften eher noch Elementar. (der kleinst möglichen Basis, in der man etwas Zählen kann sind alle Ziffern gleich/maximal. Und sie ist direkt mit den Perfekten-Zahlen gekoppelt)
Sie ist immerhin auch eine:
- Fortunate
- Chen
- Cuban (nur: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, ...)
- Gaussian
- Gute
- Higgs
- Glückliche
- Motzkin (nur: 2, 127, 15511, 953467954114363)
- Binär Quadratisch (nur: 2, 11, 23, 37, 43, 53, 71, 79, 107, 109, 127, 137, 149, 151, ...)
- Ramanujan
- Reguläre
und Wagstaft-Exponten-Primzahl

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15.03.2016, 16:59

HAL 9000

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Mir gefällt die 41:

Sie ist (vermutlich!) die größte Primzahl $\begin{align*} p \end{align*}$ mit der Eigenschaft, dass sämtliche Zahlen $\begin{align*} n^2+n+p \end{align*}$ für $\begin{align*} n=0,1,\ldots,p-2 \end{align*}$ Primzahlen sind.

So setzt eben jeder andere Prioritäten - und die meisten gar keine, zumindest in Hinblick auf Zahlen. Big Laugh

Big Laugh

15.03.2016, 17:01

echnaton

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Zitat:

Higgs-Primzahl

Sind die nach dem Higgs benannt? verwirrt

verwirrt

15.03.2016, 17:34

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mir gefällt die 41

Und ich dachte dein Name impliziert, dass 42 die einzig moegliche Antwort ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.03.2016, 20:12

HAL 9000

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Da verwechselst du wohl zwei Computer: HAL 9000 und Deep Thought. Big Laugh

Big Laugh

15.03.2016, 20:22

Leopold

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Ich habe immer noch nicht verstanden, was eine Super-Primzahl sein soll. (Die x-te Auflistungs-Position ... hä? Was ist x? Welche "Auflistung"?)

Mir gefällt die 1 am besten. Sie ist nämlich die erste Primzahl, die keine Primzahl ist.
Und wer das jetzt nicht versteht, braucht sich nicht zu grämen. Es ist einfach nur doof. Halt schön doof.

15.03.2016, 21:07

Guppi12

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Zitat:

Original von Leopold

Mir gefällt die 1 am besten. Sie ist nämlich die erste Primzahl, die keine Primzahl ist.

Hammer

Freude

16.03.2016, 09:13

Justice

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mir gefällt die 41:
Sie ist (vermutlich!) die größte Primzahl $\begin{align*} p \end{align*}$ mit der Eigenschaft, dass sämtliche Zahlen $\begin{align*} n^2+n+p \end{align*}$ für $\begin{align*} n=0,1,\ldots,p-2 \end{align*}$ Primzahlen sind.

Also das Polynom:
1/4(n^5 - 133n^4 + 6729n^3 - 158379n^2 + 1720294n - 6823316)
ergibt für n=0 bis 56, lückenlos 57 verschiedene Primzahlen...

Es gibt auch ein "besseres" Polynom 2. Grades:
36n^2 - 810n + 2753 mit n=0 bis 44, lückenlos 45 verschiedene Primzahlen.

Aber wenn du sagen willst die Grösste, welche die abc-Faktoren 1*x^2, 1*x^1 und Prim*x^0 hat, dann ja ;D

Aber auch hier sind die Eigenschaften mir zu wenig Elementar. wieso genau ein Polynom 2. Grades? Wieso ist der grösste Wert n=p-2 ?

16.03.2016, 09:18

Justice

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Zitat:

Original von echnaton

Zitat:

Higgs-Primzahl

Sind die nach dem Higgs benannt? verwirrt

verwirrt

Nein, aber der Mathematiker der diese Primzahlgruppe untersuchte hiess so... oder ich nehme das mal an.

Higgs-Primzahlen haben folgende Eigenschaften:

Alle Primzahlen p, welche mit p - 1 ein Quadrat eines Produktes von vorhergehenden Werten teilt.

16.03.2016, 09:28

Justice

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Zitat:

Original von Leopold
Ich habe immer noch nicht verstanden, was eine Super-Primzahl sein soll. (Die x-te Auflistungs-Position ... hä? Was ist x? Welche "Auflistung"?)
Mir gefällt die 1 am besten. Sie ist nämlich die erste Primzahl, die keine Primzahl ist.
Und wer das jetzt nicht versteht, braucht sich nicht zu grämen. Es ist einfach nur doof. Halt schön doof.

1 ist auch eine spezielle Zahl, das kann Wohl niemand bestreiten haha. Sie ist auch die erste und alleinige natürliche Zahl die nur einen Teiler hat. Aber 1 ist langweilig haha :P

Und Super-Primzahlen sind Primzahlen, welche bei der Aufzählung von Primzahlen, ihre Position wieder Prim ist, siehe Beispiel:

Aufzählung oben, Primzahl unten:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37

Somit sind Super-Primzahlen:
3 mit Aufzählungs-Position 2
5 mit Aufzählungs-Position 3
11 mit Aufzählungs-Position 5
17 mit Aufzählungs-Position 7
31 mit Aufzählungs-Position 11

Dieses "Spiel" kann man nun beliebig oft mit der neu enstandenen "Super-Liste" forstetzen

Super-Super: 5,11,31...

17.03.2016, 09:54

Justice

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Und natürlich bildet die 127 die vollkommene Zahl: 8128

Eine vollkommene Zahl, ist die Summe all ihrer Teiler < sie selbst.
z.B. 6 = 1 + 2 + 3 oder 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Vollkommene Zahlen haben immer die Form: $\begin{eqnarray*} 2^{x-1} (2^{x}-1) \Rightarrow x=\left\{\mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} (2^{x}-1) \end{eqnarray*}$ zwingend prim sein muss. (Also eine Mersenne Primzahl)

D.h. : $\begin{eqnarray*} 2^{6} \cdot 127 \end{eqnarray*}$ ist eine vollkommene Zahl
und $\begin{eqnarray*} 2^{127-1} (2^{127}-1) \end{eqnarray*}$ ist auch eine vollkommene Zahl.

Elementarer geht fast nicht... Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2016, 10:46

Justice

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Okay noch zwei schöne Ergänzungen:

127 ist eine von wenigen Primzahlen (auf die Menge aller Primzahlen betrachtet), welche ihre Lücken (Anzahl Nicht-Primzahlen) zu den nächsten benachbarten Primzahlen (113, 131) beide, nach oben und unten Prim sind (13 und 5).

Ausserdem ist die jeweilige Quersumme von 127 in einer primen Basis, "immer" prim!

Quersummen in Prim-Basen-Darstellung:
Basis 2 = 7
Basis 3 = 5
Basis 5 = 3
Basis 7 = 7
Basis 11 = 7
Basis 13 = 19

Also ich habe es vorerst gecheckt bis Basis 13 Big Laugh

Big Laugh

Soviel ich weiss sind Quersummen in der Zahlentheorie absolut unbedeutend, also leider nur hübsch anzusehen...

Dies funktioniert logischerweise nicht für alle Primzahlen, bzw. Mersenne-Primzahlen...
z.B. 8191 scheitert bei Basis 11 mit der Quersumme=21

Ist ist SEHR unwahrscheinlich dass es für die 127 in allen Prim-Basen die Quersumme immer Prim ist, denn noch interessant.

Prim, Primer, 127 Freude

Freude

25.04.2016, 16:05

Justice

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Und natürlich:

Die Summe der ersten ungeraden Primzahlen <31 ergeben 127.

127 = $\begin{eqnarray*} 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 \end{eqnarray*}$

Die kleinste Primzahl überhaupt, die sich als Summe von ungeraden Primzahlen bilden lässt.
(Die nächste ist 379).

127 ist auch die Summe der ersten 7 (Primzahl) Potenzen von 2 (kleinste mögliche Potenzform, erste Primzahl):

127 = $\begin{eqnarray*} 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 \end{eqnarray*}$

Und als König der primen repunits von 1:
$\begin{eqnarray*} 2^{11_{2}} - 1 = 111_{2} = 7 \end{eqnarray*}$ und 127 = $\begin{eqnarray*} 2^{111_{2}} - 1 = 1111111_{2} \end{eqnarray*}$

Und 127 ist die $\begin{eqnarray*} 11111_{2} \end{eqnarray*}$ ste Primzahl.

$\begin{eqnarray*} 11111_{2} = 31 \end{eqnarray*}$

Wobei hier alle Anzahl von 1en in Basis 2 prim ist: Darstellung 2 1en, 3 1en und 7 1en, und die Primzahlposition mit 5 1en. 127 kann also auf verschiedene Arten durch Mersenne Primzahl beschrieben werden. (Abgesehen davon das sie selbst eine Mersenne Primzahl beschreibt $\begin{eqnarray*} 2^{1111111_{2}} - 1 = 2^{127} - 1 \end{eqnarray*}$ = prim)

25.04.2016, 16:07

IfindU

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Zitat:

Original von Justice
127 = $\begin{eqnarray*} 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 \end{eqnarray*}$

Die kleinste Primzahl überhaupt, die sich als Summe von ungeraden Primzahlen bilden lässt.
(Die nächste ist 379).

Ich bin recht sicher, die kleinste solche Primzahl ist $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2016, 16:48

Justice

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Zitat:

Original von IfindU

Zitat:

Original von Justice
Die kleinste Primzahl überhaupt, die sich als Summe von ungeraden Primzahlen bilden lässt.
(Die nächste ist 379).

Ich bin recht sicher, die kleinste solche Primzahl ist $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Haha okay, ja :P

Wobei ich, zu meiner Verteidigung, die Plural-Form "ungeraden Primzahlen" verwendet habe. : )

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