Benzinverbrauch

15.03.2016, 18:42

Lauron90

Benzinverbrauch

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe einige Fragen bezüglich der Aufgabe:

Vanessa besucht ihre Großeltern. Sie fährt die 500km lange Strecke zu ihnen mit dem Auto. Direkt vor der Fahrt hat sie die Tageskilometeranzeige auf 0 gesetzt. Der Benzinverbrauch in Liter pro 100 km L/100km in Abhängigkeit von der Fahrstrecke (x in 100km) wird dabei näherungsweise durch die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2}{10} x^3 - x^2 + \frac{5}{10} x + 7 \end{eqnarray*}$ für 0 kleiner gleich x kleiner gleich 5

beschrieben

Meine Ideen:
a) Wie hoch ist der Benzinverbrauch beim Losfahren

Da muss ich doch nur f(0) machen also es ist. Also 7 Liter pro 100 km oder?

b) Wie viel Liter Benzin pro 100km verbraucht das Auto bei Vanessas Ankunft?

f(5) = -4,5 oder?

c) f' ist gesucht und das gleich Null setzen

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{6}{10} x^2 - 2x + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Liefert 0,27 und 3,06

kann das sein?

d) wegen der Beziehung Verbrauch in Liter = Kraftstoffverbrauch in L/100 km multipliziert mit Strecke (in 100 km) stellt die Fläche unterhalb des Funktionsgraphen die verbrauchte Benzinmenge der Fahrt da. Berechnen Sie, wie viel Liter Benzin Vanessas Auto für die gesamte fahrt verbraucht hat.

Also gesucht ist F(x) von 0 bis 5

integriert ergibt die Funktion ja $\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{2}{40} x^4 - \frac{1}{3} x^3 + \frac{5}{30} x^2 + 7x \end{eqnarray*}$

Und jetzt F(5) einsetzen und mal 100?

Ich bedanke mich!

Laura

15.03.2016, 21:14

mYthos

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RE: Benzinverbrauch
a) richtig
b) falsch, der Verbrauch kann doch nicht negativ sein! Bei dir sind 4,5 l in den Tank zurückgeflossen!
c) Was ist hier eigentlich gefragt? Die Lösungen stimmen.
d) Na super, da würdest du einen ganzen Tankwagen (3083 l !) für diese Strecke brauchen! Das Argument der Funktion IST ja bereits in 100 l/km. Also NIX mal 100!

mY+

16.03.2016, 09:40

Tankwart3000

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RE: Benzinverbrauch
" Bei dir sind 4,5 l in den Tank zurückgeflossen!"

Das absolute Auto der Zukunft ! Sofort patentieren lassen! Morgen bist du Multi-Milliardär.
Zugleich wäre das Ende der ohnehin schon arg gebeutelten Erdölindustrie.
Shell & Co., das wars dann wohl. Augenzwinkern

16.03.2016, 12:31

Lauron90

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Ohje. Was habe ich nur gemacht. Wie genau ist es denn jetzt richtig?

bei b) muss ich doch f(5) berechnen das habe ich falsch gemacht f(5)=47 aber das stimmt doch nicht.

bei c) ist der größte und niedrigste Benzinverbrauch pro 100km gefragt auf der Fahrt.

Aber die Zahlen sagen mir irgendwie nichts.

d) also einfach F(5) = 28,75 Liter richtig?

e)Kurz vor erreichen der Großeltern wird auf der schnurgeraden Forststraße durch ein Waldgebiet 3 mal ein Sandbach überquert. Die Straße lässt sich durch die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac14 x+1 \end{eqnarray*}$ , der Sandbach durch die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x) = \frac14 x^3+\frac{7}{12} x^2 - \frac23 x - \frac14 \end{eqnarray*}$ beschrieben.

Die Flächenstücke, die vom Sandbach und der Forststraße eingeschlossen werden, werden gerade aufgeforstet.

Berechnen Sie den Inhalt der gesamten aufzuforstenden Fläche.

Es gilt ja für der den Flächeninhalt immer obere Kurve minus untere. ich würde als den Flächeninhalt von h berechnen und ihn von g abziehen aber auf welchem Intervall?

Danke sry bin nicht die Leuchte Hammer

16.03.2016, 13:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lauron90
bei b) muss ich doch f(5) berechnen das habe ich falsch gemacht f(5)=47 aber das stimmt doch nicht.

In der Tat. Keine Ahnung, was du da rechnest.

Zitat:

Original von Lauron90
bei c) ist der größte und niedrigste Benzinverbrauch pro 100km gefragt auf der Fahrt.

Aber die Zahlen sagen mir irgendwie nichts.

Das ist erstaunlich. An den Nullstellen der 1. Ableitung können lokale Extrema vorhanden sein. Mit der 2. Ableitung kannst du dieses prüfen. Die Funktionswerte an diesen Stellen liefern die jeweiligen Extremwerte.

Zitat:

Original von Lauron90
d) also einfach F(5) = 28,75 Liter richtig?

Vermutlich nicht, denn deine Stammfunktion ist falsch.

Zitat:

Original von Lauron90
Es gilt ja für der den Flächeninhalt immer obere Kurve minus untere. ich würde als den Flächeninhalt von h berechnen und ihn von g abziehen aber auf welchem Intervall?

Du mußt erst die Schnittpunkte von h und g berechnen. Dann integrierst du die Differenz h-g von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und addierst die jeweiligen Beträge.

16.03.2016, 13:25

mYthos

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Schreibe einmal, WAS und WIE du gerechnet hast, nichts ist richtig!
f(5) = 9,5 l/km und F(5) = rd. 30,83 l

Die Intervallgrenzen bekommst du mittels Gleichsetzen der Funktionsgleichungen für g(x) und h(x).
Achtung: Es sind zwei Flächenstücke, da die Sandbank 3 mal überquert wird.

Die Gleichung 3. Grades hat zwei ganzzahlige Lösungen, von denen eine zu erraten ist.
Die anderen zwei ermittelt man (wie üblich) mittels Polynomdivision und Lösen der resultierenden quadratischen Gleichung.

mY+

16.03.2016, 14:08

Lauron90

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Zitat:

Original von klarsoweit
In der Tat. Keine Ahnung, was du da rechnest.

Die Ankunft ist doch an der Stelle 5 der Funktion, 500km? Oder wie?

Zitat:

Original von klarsoweit
Das ist erstaunlich. An den Nullstellen der 1. Ableitung können lokale Extrema vorhanden sein. Mit der 2. Ableitung kannst du dieses prüfen. Die Funktionswerte an diesen Stellen liefern die jeweiligen Extremwerte.

Du meinst ich muss die Extremwerte in die Ausgangsfunktion einsetzen? Und das liefert mir den höchsten bzw. niedrigsten Verbrauch?

Zitat:

Original von klarsoweit
Du mußt erst die Schnittpunkte von h und g berechnen. Dann integrierst du die Differenz h-g von Schnittpunkt zu Schnittpunkt und addierst die jeweiligen Beträge.

Ahso, okay, also setze ich die Funktionen gleich.

Dann komme ich auf die Gleichung:
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{4} x^3 + \frac{7}{12} x^2 - \frac{11}{12} x - \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

Lösungen sind dann -3 ; -1 ; 5/3

Okay ich integriere dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{-1} \frac14 x^2 + 1 d x = \frac{1}{12} x^3 + x |_{-3}^{-1} = 4,16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\frac53} \frac14 x^2 + 1 d x = \frac18 x^2 + x |_{-3}^{-1} = 3,14 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-3}^{-1} \frac14 x^3+\frac{7}{12} x^2 - \frac23 x - \frac14 d x = \frac{1}{16} x^4+\frac{7}{36} x^3 - \frac26 x^2 - \frac14x |_{-3}^{-1} = 2,22 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^{\frac53} \frac14 x^3+\frac{7}{12} x^2 - \frac23 x - \frac14 d x =\frac{1}{16} x^4+\frac{7}{36} x^3 - \frac26 x^2 - \frac14x |_{-3}^{-1} = 0,255 \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber wie erkenne ich die obere und untere Funktion.

Die Differenz wäre ja entsprechend:
2,22 - 4,16 = -1,94
0,255 - 3,14 = -2,885

-1,94 -2,885 = -4,825

Die Stammfunktion zu Aufgabenteil d) lautet richtig:
$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{2}{40} x^4-\frac{1}{3} x^3 + \frac{5}{20} x^2 +7 x \end{eqnarray*}$

und in der Tat ist dann $\begin{eqnarray*} F(5) = 30,8 L \end{eqnarray*}$

Ich danke euch allen!

16.03.2016, 15:27

mYthos

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So, die 30,83 l sind mal richtig.

Aber bei den bestimmten Integralen hast du dich leider verrechnet.
Und bei g(x) schon mal falsch abgeschrieben, denn g(x) = (1/4)*x + 1 (da gibt's kein x²)

Ausserdem brauchst du nicht die Funktionen einzeln integrieren, sondern gleich deren Differenz h(x) - g(x)

Wegen des Vorzeichens des Resultates brauchst du dir keine Gedanken machen, denn davon nimmst du ja - als Fläche - den Absolutbetrag.
Deswegen ist es egal, ob man dabei g(x) - h(x) oder h(x) - g(x) nimmt.
Also bilde ZUERST die Differenz und integriere DANN jeweils für die beiden Intervalle.
Die 2 Flächen lauten bei richtige Rechnung A1 = 1,22 und A2 = 2,63 ..

mY+

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