Gruppenisomorphismus als Wertetabelle

16.03.2016, 15:18	Frageheld	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenisomorphismus als Wertetabelle hallo, ich habe folgende aufgabe: gebe einen gruppenisomorphismus $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^ \to \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ an. dies soll ich mit einer wertetabelle machen. bis jetzt habe ich mir klar gemacht, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^* \end{eqnarray}$ die elemente 1, 2, 3, 4 hat und $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ die elemente 0, 1, 2, 3. in der ersten gruppe ist die Multiplikation, in der zweiten die addition die operation. wie muss ich jetzt vorgehen? habe einiges herumprobiert, komme aber nicht wirklich zu einem ergebnis. vielen dank!
16.03.2016, 15:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus als Wertetabelle Du hast 2 zyklische Gruppen vorliegen. Nimm dir einen Erzeuger von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z / 5 \mathbb Z)^ \end{eqnarray}$ und bilde ihn auf einen Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathbb Z / 4 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ab. Der Rest ist automatisch durch die Forderung ein Homomorphismus zu sein bereits eindeutig definiert.
16.03.2016, 15:48	Frageheld	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus als Wertetabelle ich nehme mir für die erste gruppe den erzeuger 2 und für die additive gruppe den erzeuger 1. dann habe ich 2->1. dann setze ich in $\begin{eqnarray} f(xy) = f(x)+f(y) \end{eqnarray}$ andere werte ein, und fülle damit die tabelle aus. dann habe ich $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$ . ist das vorgehen richtig?
16.03.2016, 15:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus als Wertetabelle Die ersten $\begin{eqnarray} 2 \times 2 \end{eqnarray}$ Einträge sehen gut aus, die anderen nicht. Sollte schon dadurch auffallen, dass $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ momentan nicht in der zweiten Zeile auftaucht, dafür aber eine $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ . Mal für das Bild von $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2) + f(2) = \dots = ? \end{eqnarray}$ .
16.03.2016, 16:17	Frageheld	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus als Wertetabelle ich korrigiere: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ damit ist dann $\begin{eqnarray} f(4) = f(2 \cdot 2) = f(2) + f(2) = 1+1 = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(3) = f(2 \cdot 4) = f(2) + f(4) = 1+2 = 3 \end{eqnarray}$
16.03.2016, 16:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus als Wertetabelle Genau Nach Konstruktion ist das ein Homomorphismus, und Bijektivität ist auch leicht einzusehen.
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16.03.2016, 17:55	Frageheld	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppenisomorphismus als Wertetabelle ok, vielen dank! mein problem lag daran, dass ich nicht bei den erzeugern angefangen hatte.. jetzt habe ichs verstanden!

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