Inhomogene Rekursionsgleichung

16.03.2016, 16:55

MichaelKaprosky

Inhomogene Rekursionsgleichung

Meine Frage:
Lösen Sie die inhomogene Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} a_{n} = 3 a_{n-1} + 2^n \end{eqnarray*}$ mit der Randbedingung $\begin{eqnarray*} a_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also die Gleichung ist in der ersten Ordnung mit dem Rand $\begin{eqnarray*} a_{0} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} = a x_{n-1} + b_{1} \end{eqnarray*}$ eine Rekursionsgleichung mit $\begin{eqnarray*} n>=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0} = b_{0} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a, b_{0}, b_{1} \end{eqnarray*}$ beliebige konstanten sind. ... soll jetzt die Lösung

$\begin{eqnarray*} x_{n} = [b_{0}a^n+b_{1}*(a^n-1/a-1)] \end{eqnarray*}$ falls a /= 1 ist .. was in unserem Fall auftritt also die Lösung soll

$\begin{eqnarray*} a_{n} = [1*3^n+2^n*(3^n-1/3-1)] \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} a_{n} = [3^n+2^n*(3^n-1/2)] \end{eqnarray*}$

Liebe Mathefreunde, reicht es soviel als Lösung der Rekursionsgleichung zu schreiben ?.. ich weiß es sogar nicht ob meine Lösung überhaupt stimmt.. aber vielen Dank für euer Tipp und Mithilfe smile

16.03.2016, 17:20

HAL 9000

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Zitat:

Original von MichaelKaprosky
Sei $\begin{eqnarray*} x_{n} = a x_{n-1} + b_{1} \end{eqnarray*}$ eine Rekursionsgleichung mit $\begin{eqnarray*} n>=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0} = b_{0} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a, b_{0}, b_{1} \end{eqnarray*}$ beliebige konstanten sind. ... soll jetzt die Lösung

$\begin{eqnarray*} x_{n} = [b_{0}a^n+b_{1}*(a^n-1/a-1)] \end{eqnarray*}$ falls a /= 1 ist .. was in unserem Fall auftritt

Schön und gut, aber deine Rekursionsgleichung ist nicht vom Typ $\begin{align*} x_n = ax_{n-1}+b_1 \end{align*}$ mit einer von $\begin{align*} n \end{align*}$ unabhängigen Konstanten (!) $\begin{align*} b_1 \end{align*}$ - dein Störglied $\begin{align*} 2^n \end{align*}$ hängt sehr wohl von $\begin{align*} n \end{align*}$ ab. unglücklich

Gemäß Theorie zur Lösung linearer Differenzengleichung ist $\begin{align*} a_n = u3^n + v2^n \end{align*}$ , wobei sich der erste Summand als allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung $\begin{align*} a_n=3a_{n-1} \end{align*}$ ergibt, und der zweite Summand einen Lösungsansatz für eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung darstellt. Eingesetzt haben wir

$\begin{align*} u3^n + v2^n &= 3\left( u3^{n-1} + v2^{n-1}\right) + 2^n\\ 2v &= 3v + 2\\ v &= -2 \end{align*}$ ,

also $\begin{align*} a_n = u3^n-2^{n+1} \end{align*}$ . $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ eingesetzt bekommst du über $\begin{align*} a_0=1 \end{align*}$ dann auch $\begin{align*} u \end{align*}$ .

16.03.2016, 17:24

MichaelKaprosky

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Rekursion
Edit (mY+): Vollquote entfernt.

Danke Hal.. smile

16.03.2016, 17:26

HAL 9000

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Komplette Beiträge zu zitieren ist wirkliche Platzverschwendung - erst recht, wenn das Original direkt darüber steht.

16.03.2016, 17:35

mYthos

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RE: Inhomogene Rekursionsgleichung

Zitat:

Original von MichaelKaprosky
...
$\begin{eqnarray*} a_{n} = [1*3^n+2^n*(3^n-1/3-1)] \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} a_{n} = [3^n+2^n*(3^n-1/2)] \end{eqnarray*}$
...

Da du in der Hochschule sitzt, solltest du mit der syntaktisch (mathematisch) richtigen Schreibweise eigentlich schon vertraut sein.
Immerhin besteht ein Unterschied zwischen (a - b/c - d) und (a - b)/(c - d)

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