Typ einer partiellen Differentialgleichung

16.03.2016, 20:12	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Typ einer partiellen Differentialgleichung Hallo Leute, mal wieder eine Frage von mir. Gegeben ist folgende partielle Differentialgleichung. Ziel ist es herauszufinden, was der Typ der pDGL ist. Im Prinzip ja nicht sonderlich schwer. Falls beide Eigenwerte größer als 0 sind, dann liegt eine elliptische pDGL vor, falls einer größer 0 ist und der andere kleiner 0 dann liegt eine hyperbolische pDGL vor und eine parabolische pDGL liegt, falls ein Eigenwert größer 0 und der andere gleich 0 ist. Im ersten Schritt habe ich das charakteristsche Polynom der folgenden Matrix aufgestellt $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -2 & y \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Diese forme ich nun mit der pq-Formel solange um bis sich herauslesen kann wie das y sich auf die EW auswirkt $\begin{eqnarray} \lambda= \frac{4+y}{2} \pm \sqrt{\frac{y^2 - 8y +32}{4}} \end{eqnarray}$ Das habe ich nun wie folgt geschrieben $\begin{eqnarray} \lambda= \frac{4+y}{2} \pm \sqrt{\frac{(y-(4+i2))(y-(4-i2))}{4}} \end{eqnarray*}$ Nun komme ich nicht mehr weiter. Irgendwie muss ich jetzt zeigen wie sich das y auf das lamda auswirkt aber ich habe keine Idee, vielleicht weiß einer Bescheid
18.03.2016, 10:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einteilung partiellen Differenzialgleichungen in die Typen elliptisch, parabolisch, hyperbolisch ist im Prinzip nur anwendbar, wenn die Koeffizienten konstant sind. Dies ist hier nicht der Fall. Bei nichtkonstanten Koeffizienten gibt es aber praktische Fälle, wo man sich nur für die Lösung "in der Nähe" eines Punktes $\begin{eqnarray} \vec x_0=(x_0\|y_0) \end{eqnarray}$ interessiert. Dann entwickelt man die nichtkonstanten Koeffizienten an diesem Punkt in einer Taylorreihe. In deinem Fall lautet der einzige nichtkonstante Koeffizient im letzten Summanden gerade y. Angenommen wir interessieren uns nur für die Lösung in der Nähe eines festen $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ . Dann lautet die Taylorentwicklung an dieser Stelle $\begin{eqnarray} y=y_0+\underbrace{y-y_0}_{\Delta y} \end{eqnarray}$ Demnach kann man für den letzten Summanden der partiellen Dgl. schreiben. $\begin{eqnarray} y\cdot u_{yy}=y_0\cdot u_{yy}+\underbrace{\Delta y\cdot u_{yy}}_{\text{vernachlässigbar}} \end{eqnarray}$ Wenn man den 2.Summanden vernachlässigt, hat man wieder eine Dgl. mit konstanten Koeffizienten (nur in der Nähe des festen $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ ). Nun kann man die Klassifizierung wie immer vornehmen. Die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix hast du richtig berechnet: $\begin{eqnarray} \lambda_{1;2}=2+\tfrac{1}{2}y_0\pm \sqrt{\tfrac{1}{4}y_0^2-2y_0+8} \end{eqnarray}$ Je nach Lage des festen Wertes $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ gibt es folgende Fälle: 1. parabolische Dgl., wenn genau ein Eigenwert verschwindet 2. hyperbolisch, wenn die Vorzeichen der Eigenwerte unterschiedlich sind 3. elliptisch, wenn die Vorzeichen beider Eigenwerte gleich sind Jedem Fall kannst du gewisse Werte $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ zuordnen... Versuche das mal!
18.03.2016, 21:31	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Echt vielen Dank für die zahlreichen Antworten, du hast mir wirklich sehr geholfen! Nicht nur bei der Frage. Hast du vielleicht Tipps, wo man sich als externer diese Mathematik beibringen kann (studiere Ingenieurswesen und solche Fragen werden da einfach übersprungen) ?

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