Integralrechnung

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MATHE11LK Auf diesen Beitrag antworten »
Integralrechnung
Meine Frage:
Hallo, ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.. Es ist eine Funktion gegeben: f(x)=
Die Normale n im Wendepunkt W (4|8/e^2) hat die Gleichung n(x)=
Gesucht ist der Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche.

Meine Ideen:
Also, ich hab das Integral von f(x) im Intervall I=[0;4] berechnet und hab einen Flächeninhalt von 9.5FE berechnet. Dann habe ich die Nullstelle der Normalen berechnet und hatte für x=2.83.
Als nächstes habe ich die Fläche von dem Dreieck berechnet, was zu viel ist, indem ich 4-2.83=1.17 berechnet habe und habe dann dieses Ergebnis mit dem y-Wert des Wendepunktes multipliziert und dieses dann dividiert und hatte für die Fläche des Rechtecks einen Flächeninhalt von 0.633FE.
Anschließend habe ich 9.5-0.633=8.867FE gerechnet und dachte, dass das die eingeschlossene Fläche ist.
Aber dann habe ich überlegt, ob ich nicht anstelle von der Flächeninhaltsberechnung von dem Dreieck auch da die Integralrechnung für die Normale anwenden kann.. Als Ergebnis hatte ich dieses Mal 1,27. Dieses Ergebnis habe ich vom gesamten Flächeninhalt subtrahiert und hatte als Flächeninhalt 8.235FE.
Jetzt frage ich mich, welcher Rechenweg der richtige ist, da beide Wege mir sehr logisch erscheinen, aber unterschiedliche Wert rauskommen unglücklich
Wäre echt toll, wenn jemand mir sagen könnte, welcher Rechenweg der richtige ist und warum der andere falsch ist smile
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Guten Abend,

hier ist eine Skizze der Situation:
[attach]41150[/attach]

Das Standardverfahren wäre:
  1. Differenzfunktion bilden
  2. Nullstellen der Differenzfunktion bestimmen
  3. Nullstellen sind die Integrationsgrenzen
  4. Fertig.
MATHE11LK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Ich hab vergessen zu schreiben, dass nur der erste Quadrant berücksichtigt wird. Ändert das was?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Guten Morgen,

ja, denn dann gibt es zwei unterschiedliche Flächen, die auf Deine Beschreibung passen:

[attach]41153[/attach]

A: Graue Fläche
B: Blaue + rote Fläche.

Zur Berechnung von B ist eine Grenzwertberechnung nötig.

Für beide Flächen brauchst Du die Größe des roten Dreiecks (= ein halbes Rechteck).
MATHE11LK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Ich soll die graue Fläche berechnen und habe dafür den Flächeninhalt von f (x) für I=[0;4] mithilfe der Integralrechnung berechnet.. die rote Fläche habeich berechnet um, die dann davon abzuziehen.. ich weiß nur nicht welche Rechnung für die rote Fläche richtig ist
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Hallo,

the ggod news first:
Zitat:
Aber dann habe ich überlegt, ob ich nicht anstelle von der Flächeninhaltsberechnung von dem Dreieck auch da die Integralrechnung für die Normale anwenden kann.. Als Ergebnis hatte ich dieses Mal 1,27. Dieses Ergebnis habe ich vom gesamten Flächeninhalt subtrahiert und hatte als Flächeninhalt 8.235FE.

Das ist richtig. (Der exakte Wert ist übrigens:

Dass bei Deiner Dreiecksberechnung ziemlich genau die Hälfte des richtigen Wertes herauskommt, liegt daran, dass die Koordinaten des Wendepunktes falsch sind. Deshalb liefert die Integralrechnung den richtigen Zahlenwert, da hier die Ordinate des Wendepunktes nicht gebraucht wird.
 
 
MATHE11LK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Die Koordinate des Wendepunktes ist aber in der Aufgabenstellung gegeben.. die habe ich nicht selber berechnet verwirrt
MATHE11LK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Aber du hast tatsächlich recht! Big Laugh
Ich hab den Wendepunkt mal selbst berechnet und habe die Koordinaten W (4|16e^-2)
Theoretisch ist die andere Berechnung der Dreiecksfläche doch auch richtig oder? Wenn ich mit dem richtigen Wert zumindest gerechnet hätte..
Denn 16e^-2 mal 1.17 mal 0.5 sind 1.26..

Mir ist auch noch aufgefallen, dass ja die y-Koordinate des Wendepunktes genau die Hälfte von dem richtigen Wert ist.. day ist doch einfach nur ein Fehler der Aufgabenstellung, oder?
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Hallo,

das ist alles völlig richtig.

Du kannst daraus nur entnehmen, dass eine gesunde Portion Skepsis - auch bei Mathe-Aufgaben - nicht verkehrt ist.
MATHE11LK Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralrechnung
Vielen vielen Dank Freude
Du hast mir wirklich weiter geholfen smile
(Die Aufgabe hatte mich ziemlich durcheinander gebracht)
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