Laplace-Gleichung-Aufgabe

Neue Frage »

matheman^2 Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace-Gleichung-Aufgabe
Meine Frage:
Hallo Leute,

mal wieder ne Aufgabe, die ich nicht von selbst lösen kann. Gegeben sei die Laplace-Gleichung (unten im Bild). Ziel ist es diese zu lösen.

Meine Ideen:
Ich habe schon echt viel probiert, aber irgendwie komme ich auf nix, dass sich lösen lässt. Zu aller erst habe ich mir überlegt ich versuche, aus der inhomogenen Gleichung eine homogene Gleichung zu formen. Dafür setze ich u=v+p. Dadurch formt sich die Gleichung um zu, v_xx+v_yy=0 mit v(x,y)=xy-(1/6)*x^3 auf dG. Nun habe ich den Bernoulli Produktansatz angewandt v(x,y)=X(x)*Y(y) erhalte zwei Eigenwertprobleme. Für diese suche ich mir nun die entsprechenden Randbedingungen, allerdings weiß ich nicht wie man hier vorgeht, wie genau finde ich diese Randbedingungen?

Liege ich total falsch mit dem Ansatz oder kann man das einfacher lösen. Ich hoffe jemand kann mir weiterhelfen Big Laugh
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Da das Gebiet ein Kreis mit dem Radius ist sollte man ebene Polarkoordinaten verwenden. Man führt also folgende Transformation durch




Das führt zu folgender Gleichung



Die Randbedingung auf dem kreisförmigen Rand bei lautet in Polarkoordinaten:



Diese Randbedingung ist inhomogen. Um die störende Inhomogenität zu beseitigen, macht man folgende Transformation



Einsetzen dieser Transformation in die Randbedingung führt zu . Der Summand mit sin(...) hebt sich auf dem Rand bei heraus und man bekommt wie gewünscht eine homogene Randbedingung


bei


Die obige Transformation führt aber auch zu Änderung der Differenzialgleichung. Setzt man nämlich die Transformation in die obige Dgl. ein, erhält man



Differenzieren und Umordnen führt zu



Auf der rechten Seite ist ein neuer Summand hinzu gekommen, weil der Ansatz differenziert wurde. Die weitere Lösung macht man wie immer mit der Fourrierschen Metode. Das heißt, man entwickelt die Lösung nach Eigenfunktionen auf dem Kreisgebiet. Man macht also den Produktansatz usw.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Alternativ bemerkt man, dass harmonisch ist und man damit das Problem sofort auf ein Nullrandproblem reduzieren kann. Und das kann man mithilfe der wohlbekannten Greenschen Funktion für den Kreis sogar ohne diese Reduktion sofort hinschreiben, wobei die Frage ist ob man mit Ehos Methode eine explizitere Formel bekommt.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@IfindU
Ich habe das Problem durch meine Tansfomation ebenfalls auf ein Nullrandwertpoblem reduziert. Entgegen deiner Befürchtung bekommt man natürlich bei der Fourrierschen Methode ebenfalls eine formelmäßige Lösung (=Reihenentwicklung nach Eigenfunktionen). Dieser Weg ist der Methode mit der Greeenschen Funktion äquivalent (Satz von Mercer). Ich gehe mal davon aus, dass der Fragesteller die Greensche Funktion für den Kreis noch nicht behandelt hat, weil er den Produktansatz anwenden wollte.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »