Zyklische Gruppe - Restklassen oder Äquivalenzklassen |
| 17.03.2016, 19:00 | Bertie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Zyklische Gruppe - Restklassen oder Äquivalenzklassen Hi, angenommen, man hat eine zyklische Gruppe. Bestehen ihre Elemente dann aus Restklassen oder Äquivalenzklassen? Ich meine, es sind Restklassen, habe aber auch schon Äquivalenzklassen im Zusammenhang mit zyklischen Gruppen gesehen. Bei einer Aufgabe, die ich bearbeiten wollte, wurde eine Menge aus Z x Z (ganze Zahlen) definiert, die alle 2-Tupel (a,b) beinhaltet, bei denen gilt b - a = m * k (m fest gewählt, k eine ganze Zahl) Das ist eine Äquivalenzrelation (sollte man da z.B. zeigen). Bei einer anderen Aufgabe, soll man (Mithilfe der gerade genannten Aufgabe) zeigen, dass Z/mZ zusammen mit Verknüpfungen + und * (die von Z ererbt sind) einen Ring darstellt. Z/mZ ist ja die zyklische Gruppe. Und ich bin mir unsicher, was die erste Aufgabe damit zu tun hat. Was ich auch nicht ganz verstehe: Eine Restklasse [x] besteht ja aus Elementen. Sind diese Elemente darin 2-Tupel? Weil für eine Relation braucht man doch immer a und b (b-a = m*k). Tut mir wirklich Leid. Das ist ziemlich vage und chaotisch geschrieben. Ich bin gerade maximal verwirrt und kann es nicht in Worte fassen. Vielleicht kann jemand ein paar allgemeine Worte dazu verlieren. Im Internet finde ich nur sehr wenige verständlichen Sachen dazu. Ich denke gerade einfach zu viel darüber nach. Ich glaube, dass ist gar nicht so kompliziert, ich hab mir nur nen Knoten reingedacht irgendwie. Danke! Meine Ideen: siehe oben |
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| 17.03.2016, 21:34 | tatmas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo,
Weder noch. Die Elemente können alles mögliche sein. Z.B. ist {fre, tok} mit der Multiplikation * : fre*fre=fre, fre*tok=tok, tok*fre=tok, tok*tok=fre eine Gruppe mit 2 Elementen, also zyklisch. Ferner sind Restklassen auch nur spezielle Äquivalenzklassen, nämlich die zur Äquivalenzrelation "Rest bei Division durch n".
Nicht wirklich. Z/mZ mit + ist eine (nicht die, es gibt sehr viele davon) zyklische Gruppe. Die Zyklizität ist aber beim Nachweis der Ringeigenschaft völlig irrelevant.
Nein. Wenn a und b äquivalent sind liegen sie in der selben Äquivalenzklasse. |
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| 18.03.2016, 12:37 | Bertie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, danke 
Kann man den Beweis dann mit Äquivalenzklassen als Elementen führen? Weil so habe ich es gemacht. Mit den Äquivalenzklassen der verschiedenen Reste. Zudem habe ich diese vererbte Addition und Multiplikation so bewiesen: Man hat eine Zahl a, die zur Äquivalenzklasse [x] gehört. Dazu habe ich diese Gleichung aufgestellt: a - m * k1 = x (a: Die zu überprüfende Zahl, m: fest gewählt durch Z/mZ, k1: beliebige ganze Zahl, sodass die Gleichung aufgeht, x: Die Äquivalenzklasse (also der Rest, der rauskommen soll) Nimmt man jetzt eine zweite Gleichung b - m * k2 = y und addiert beide, kommt das hier raus: (a + b) - m * (k1 + k2) = x + y Und ich meine, daraus sieht man jetzt, dass: [x] + [y] = [x + y] Reicht das als Beweis? Ist das überhaupt einer? (Ich finde es in algebra extrem schwer rauszufinden, ob man gerade überhaupt irgendwas bewiesen hat oder nur irgendeinen nonsense aufgeschrieben hat) Lg |
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