Definition Stratonovich-Integral

18.03.2016, 02:04	Lithiesque	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Stratonovich-Integral Hallo, ich lese zurzeit das Buch 'Stochastic Differential Equations' von Oksendal, und dort wird das Stratonovich-Integral eines geeigneten stochastischen Prozesses $\begin{eqnarray} f(t,\omega) \end{eqnarray}$ bzgl. einer Brownschen Bewegung $\begin{eqnarray} B_t \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} \int\limits_0^T f(t,\omega)\circ\mathrm{d}B_t(\omega) := \lim\limits_{\Delta t_j \to 0} \sum_j f(t_j^,\omega)\Delta B_j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} t_j^* = \frac{1}{2}(t_j+t_{j+1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Delta B_j = B_{j+1}-B_j. \hspace{2cm} (1) \end{eqnarray}$ Andernorts (u.a. auf Wikipedia) findet sich aber die Definition $\begin{eqnarray} \int\limits_0^T f(t,\omega)\circ\mathrm{d}B_t(\omega) := \lim\limits_{\Delta t_j \to 0} \sum_j \frac{1}{2}\left(f(t_j,\omega)+f(t_{j+1},\omega)\right)\Delta B_j \hspace{2cm} (2) \end{eqnarray}$ Ich gehe davon aus, dass die beiden Definitionen konsistent sind bzw. dass (2) dasselbe ergibt wie (1), würde dies aber gerne verifizieren. Ansatz: Ausgehend von der Summe in (2) erhält man (der Kürze halber $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ weglassend) $\begin{eqnarray} \sum_j \frac{1}{2}\left(f(t_j)+f(t_{j+1})\right)\Delta B_j = \sum_j \left(f(t_j^)+\frac{1}{2}\left(f(t_j)-f(t_j^)+f(t_{j+1})-f(t_j^)\right)\right)\Delta B_j \end{eqnarray}$ , worin der erste Summand mit $\begin{eqnarray} \Delta t_j \to 0 \end{eqnarray}$ gegen (1) konvergiert und der zweite hoffentlich gegen 0, aber wie zeigt man das?

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