Mehrdimensionale Kurvendiskussion Ergebnis prüfen

18.03.2016, 12:17	Arnulf123	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrdimensionale Kurvendiskussion Ergebnis prüfen Hallo, ich habe eine Übungsaufgabe ohne Lösung gerechnet und würde gerne wissen ob mein Ergebnis stimmt. Gibt es irgend eine Möglichkeit dies nachzuprüfen? Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray} f(x,y)=(xy^2+x)\cdot e^{-x} \end{eqnarray}$ Dazu soll man die Extrema finden und deren Funktionswert $\begin{eqnarray} f(x_0 , y_0) \end{eqnarray}$ . Ich habe den Gradient: $\begin{eqnarray} grad(f)=\begin{pmatrix} (y^2+1-xy^2+x)\cdot e^{-x} \\ 2xye^{-x} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} grad(f)=0 \end{eqnarray}$ nur Nullstelle $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gefunden. Und $\begin{eqnarray} Hf = \begin{pmatrix} -2(y^2+1)e^{-x}+(xy^2+x)e^{-x} & 2e^{-x}(y-xy) \\ 2e^{-x}(y-xy) & 2xe^{-x} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Hf(1,0) = \begin{pmatrix} -\frac{1}{e} & 0 \\ 0 & \frac{2}{e} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} det(Hf(1,0))<0 \end{eqnarray}$ und somit indefinit. Also gibt es einen Sattelpunkt bei $\begin{eqnarray} f(1,0)=\frac{1}{e} \end{eqnarray}$ Stimmt das ? Wie kann ich es nachprüfen?
18.03.2016, 12:47	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Kurvendiskussion Ergebnis prüfen Habe nur einen Vorzeichenfehler im Gradienten gefunden: Richtig ist $\begin{eqnarray} grad(f)=\begin{pmatrix} (y^2+1-xy^2-x)\cdot e^{-x} \\ ... \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , der sich aber nicht auf das Ergebnis ausgewirkt hat, was ich auch rausbekommen habe. Nachprüfung? Wenn das Kriterium hinreichend ist, ist die Rechnung die Bestätigung. Ansonsten: Graph plotten lassen.
18.03.2016, 14:12	Arnulf123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Kurvendiskussion Ergebnis prüfen Habe den Vorzeichenfehler nur hier beim Eintippen gemacht, da ich hier vereinfacht habe um die Schreibarbeit zu verringern. Womit kann ich den Graph Plotten, also besser gesagt die Fläche? Oder wie geht man am besten vor? Ich versuche oft mit Wolfram\|Alpha zu prüfen aber irgendwie wusste ich nicht wie ich im mehrdimensionalen Fall die Kurvendiskussion überprüfen soll.
18.03.2016, 14:21	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Kurvendiskussion Ergebnis prüfen WolframAlpha zeigt in der Grundversion wohl nur einen kleinen Ausschnitt einer Funktion. Ich fand die Darstellung für diese Aufgabe dort auch nicht so aussagekräftig. Auch ein anderer Online-Plotter konnte nicht befriedigen. Aber das folgende Bild sollte ausreichen:
18.03.2016, 17:27	Arnulf123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mehrdimensionale Kurvendiskussion Ergebnis prüfen Vielen Dank für deine Hilfe, so kann man sich das Ergebnis auch mal anschaulich vorstellen!

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