Surjektivität beweisen

18.03.2016, 14:06

MatheVerzweifelt

Surjektivität beweisen

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe aus einer alten Klausur, die ich nicht schaffe zu lösen.

Meine Ideen:
Ich muss ja zeigen, dass für alle z aus Z ein y aus Y exisitiert für das gilt: phi(y) = z, aber ich weiß nicht richtig wie ich darauf kommen soll

18.03.2016, 14:29

10001000Nick1

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RE: Surjektivität beweisen
Willkommen

im Matheboard!

Zitat:

Original von MatheVerzweifelt
Ich muss ja zeigen, dass für alle z aus Z ein y aus Y exisitiert für das gilt: phi(y) = z

Nein; $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ . Du musst also zeigen: Für alle $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \varphi(x)=y \end{eqnarray*}$ gilt.

Sei also $\begin{eqnarray*} y\in Y \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \psi(y)\in Z \end{eqnarray*}$ . Was sagt dir jetzt dir Surjektivität von $\begin{eqnarray*} \psi\circ\varphi \end{eqnarray*}$ ?

18.03.2016, 15:12

MatheVerzweifelt

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Danke für den Willkommensgruß smile

Die Surjektivität der Komposition sagt mir, dass für jedes z aus Z ein x aus X existiert für das gilt psi ° phi (x) = z.

Ich weiß jetzt aber nicht wie ich weitermachen soll...

18.03.2016, 15:20

10001000Nick1

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Genau. Und wegen $\begin{eqnarray*} \psi(y)\in Z \end{eqnarray*}$ kannst du das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \psi(y) \end{eqnarray*}$ ersetzen.
Dann steht da: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (\psi\circ\varphi)(x)=\psi(y) \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt an die Injektivität von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ denkst, steht es schon da.

18.03.2016, 15:25

MatheVerzweifelt

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Ah jetzt hat es Klick gemacht. Danke smile

18.03.2016, 15:32

10001000Nick1

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Gern geschehen. Wink

Man kann es auch folgendermaßen machen: Weil $\begin{eqnarray*} \psi\circ\varphi \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, ist auch $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ surjektiv. Zusammen mit der Injektivität folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ umkehrbar ist.
Dann ist $\begin{eqnarray*} \varphi=\psi^{-1}\circ(\psi\circ\varphi) \end{eqnarray*}$ eine Komposition surjektiver Funktionen und damit selbst surjektiv.

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