Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)

18.03.2016, 19:29

skye2193

Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)

Meine Frage:
Hallo zusammen,
Ich hoffe ihr habt die grauen Zellen bereit... Augenzwinkern

Ich sitze da an einer Aufgabe welche mir etwas Kopfschmerzen bereitet.

Man soll die Eigenwerte einer Drehmatrix A, die die Drehung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ um den Winkel $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ um eine Achse v beschreibt herausfinden.

Im Grunde genommen sehe ich zwei Lösungsansätze:
1. Ich weiss das 1 ein Eigenwert ist. Durch Einsetzen in das charakteristische Polynom kann ich das beweisen. Existieren jedoch noch mehr Eigenwerte?

2. Komplizierter: Ich weiss wie die Drehmatrizen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ für Drehungen um die x-, y- und z-Achse aussehen. Multipliziere ich diese nacheinander miteinander, sollte ich doch eine allgemeine Drehmatrix für x,y,z erhalten.

Meine Ideen:
Zu 1:
Nun ich weiss, dass eine Drehmatrix, welche eine Rotation (im Gegenuhrzeigersinn) durchführt (also mit Determinante 1, und nicht -1 für Spiegelung) den Eigenwert 1 besitzt. Wenn ich das in die Formel für das charakteristische Polynoms $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E) = 0 \Rightarrow det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$ einsetze kann ich es soweit auflösen damit ich zeigen kann dass eben 1 ein Eigenwert einer Drehmatrix ist. Doch daran kann ich nicht zeigen, dass 1 der einzige Eigenwert ist, da ich schlussendlich eine Gleichung der Form det(A-E) = (-1)det(E-A) erhalte. Daher glaube ich nicht dass dieser Beweis ausreicht, v.a. da ja eben noch Winkel und Drehachse in der Aufgabe angegeben werden.

Zu 2:
Wenn ich die Drehmatrizen bzgl. der Koordinatenachsen in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ multipliziere sollte ich doch eine Drehmatrix für eine beliebige Rotation in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ erhalten oder?
Dann wäre die Drehmatrix $\begin{eqnarray*} A = Rot_{x}(\theta) * Rot_{y}(\theta) * Rot_{z}(\theta) \end{eqnarray*}$ .
Daraus könnte man ja dann relativ einfach via. charakteristisches Polynom auf die Eigenwerte kommen.
Was mir noch schleierhaft ist, ob ich :
a) diese Drehmatrix A bzgl. der Koordinaten von v transformieren muss
b) ob dies überhaupt der richtige weg ist, oder ob ich zuerst eine Koordinatentransformation bzgl. v
durchführen muss, danach Rotationen wie normal in R durchführen und danach zurück transformieren soll.

Ich hoffe Ihr könnt mir einen Schubs in die richtige Richtung geben. Momentan sehe ich den Wald vor lauter Bäume nicht mehr...

Besten Dank für die Bemühungen im Voraus!

18.03.2016, 19:45

skye2193

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)
Ergänzung zu 2: Funktioniert das nur wenn v ein beliebiger Einheitsvektor ist?

18.03.2016, 22:42

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)
So ganz verstehe ich dein Problem nicht. Du kennst die Matrix A? Dann liefert das char Polynom noch alle EW verwirrt

Und wenn es eine Drehmatrix ist, wird 1 der einzige reelle Eigenwert sein. Der Eigenraum ist dann die Drehachse.

20.03.2016, 09:39

skye2193

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)

Zitat:

Du kennst die Matrix A?

Nein, die Matrix A kenne ich eben nicht. Mir ist schon klar dass 1 der einzige Eigenwert ist, aber ich weiss nicht wie ich das zeigen könnte mit solch generisch gehaltenen Vorgaben...

Wenn ich 1 als $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E) = 0 \end{eqnarray*}$ einsetze kann ich das schon zeigen, aber dadurch schliesse ich ja mögliche andere Eigenwerte nicht mit ein im Beweis (obschon es keine anderen gibt).

v.a. Frage ich mich was die Angabe des Winkels und der Rotationsachse soll. Diese bräuchte man ja theoretisch nicht wenn man das über das charakteristische Polynom lösen kannn... verwirrt

20.03.2016, 12:20

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)

Zitat:

Wenn ich 1 als $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E) = 0 \end{eqnarray*}$ einsetze kann ich das schon zeigen, aber dadurch schliesse ich ja mögliche andere Eigenwerte nicht mit ein im Beweis (obschon es keine anderen gibt).

Wie setzt du das ein, ohne A oder wenigstens das charakteristische Polynom zu kennen? verwirrt

Edit: Wenn du keins von beidem kennst, versteheh ich nicht, wie dein Ansatz Nummer 1. überhaupt funktionieren soll

20.03.2016, 13:41

skye2193

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)
Einsetzen und auflösen:
$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E) = 0 \Rightarrow det(A - 1 \cdot E) = 0 \Rightarrow det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$

Wir wissen: $\begin{eqnarray*} det(A) = 1 \end{eqnarray*}$ (da Drehmatrix) und $\begin{eqnarray*} A^{-1} = A^T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \cdot A^T = E \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} det(A) = det(A^T) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot det(A-E) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = det(A) \cdot det(A-E) \end{eqnarray*}$ | da det(A) = 1
$\begin{eqnarray*} = det(A^T) \cdot det(A-E) \end{eqnarray*}$ | da $\begin{eqnarray*} det(A) = det (A^T) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = det(A^T \cdot A - A^T \cdot E) \end{eqnarray*}$ | Multiplikationssatz bei Determinanten
$\begin{eqnarray*} = det(E - A^T \cdot E) \end{eqnarray*}$ | da $\begin{eqnarray*} A^T \cdot E = A^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = det(E - A^T) \end{eqnarray*}$ | Satz über Inverses und $\begin{eqnarray*} E^T = E \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = det((E - A)^T) \end{eqnarray*}$ | Transpositionssatz
$\begin{eqnarray*} = det((E - A)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (-1) \cdot det(A-E) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$

Ist das nachvollziehbar bzw. überhaupt richtig so? Wie gesagt, ich bin offen für jede Art von Vorschlag smile

21.03.2016, 00:36

URL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)
Wieso gilt hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda E) = 0 \Rightarrow det(A - 1 \cdot E) = 0 \Rightarrow det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$

die erste Implikation?
Für mich sieht es so aus, als würdest du aus $\begin{eqnarray*} det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} det(A-E) = 0 \end{eqnarray*}$ folgern.
Edit: Ah, jetzt habe ich verstanden was du machst. Damit ist in der Tat gezeigt, dass 1 EW ist.

Für jeden Eigenwert einer orthogonalen Matrix gilt $\begin{eqnarray*} |\lambda|^2=1 \end{eqnarray*}$ , also kommen als reelle EW nur 1 und -1 in Frage. Für beide kann man leicht passende Beispiele angeben.

Man kann ferner zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda E)=(-\lambda)^3\det(A-\frac 1 \lambda E) \end{eqnarray*}$ und daraus folgt $\begin{eqnarray*} \chi_A(\lambda)=-\lambda^3+Spur(A)\lambda^2-Spur(A)\lambda+1 \end{eqnarray*}$ woraus man dann wiederum den EW 1 abliest.

21.03.2016, 09:40

skye2193

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)
Besten Dank für deine Hilfe!

Dann versuche ich das doch mal auf diese Weise Augenzwinkern

Wünsche dir einen guten Wochenstart.

Neue Frage »

Antworten »

Eigenwert einer Drehmatrix um beliebige Rotationsachse (knifflig)

Verwandte Themen