Anzahl platonische Körper/ Eulersche Formel

19.03.2016, 15:26

alina94

Anzahl platonische Körper/ Eulersche Formel

Hey,

Ich steh hier gerade echt auf dem Schlauch. Wir hatten in einer Vorlesung mit der eulerschen Formel gezeigt, dass es nur 5 platonische Körper gibt.

Dabei war $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Kanten, $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Ecken und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Flächen. Wenn $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Kanten pro Ecke und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ die Anzahl der Ecken pro Fläche ist, ergibt sich
natürlich $\begin{eqnarray*} 2e=hf=nl \end{eqnarray*}$ und mit der eulerschen Formel $\begin{eqnarray*} e+2=n+f \end{eqnarray*}$ zeigt man noch, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} + \frac{1}{l} = \frac{1}{e} + \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Soweit war es mir eigentlich klar, aber ich sehe gerade nicht, warum daraus direkt folgt, dass für $\begin{eqnarray*} \left(l,h\right) \end{eqnarray*}$ damit nur Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} \left\{\left(5,3\right) \left(4,3\right) \left(3,3\right) \left(3,4\right) \left(3,5\right) \right\} \end{eqnarray*}$ in Frage kommen.

Ich hatte überlegt ob es mit den Formeln $\begin{eqnarray*} f\leq \frac{2e}{h} \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} e\leq \left(n-2\right)\frac{h}{h-2} \end{eqnarray*}$ zu tun hat, aber ich komm einfach nicht drauf.

Hat vielleicht wer nen Tipp? smile

19.03.2016, 16:36

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RE: Anzahl platonische Körper/ Eulersche Formel
$\begin{align*} \frac{1}{l} = \frac{1}{e} + \frac{1}{2}-\frac{1}{h} > \frac{1}{2}-\frac{1}{h} \geq \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6} \end{align*}$

19.03.2016, 16:40

Leopold

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Du hast verwirrende Bezeichnungen. Warum paßt du die Bezeichner nicht der deutschen Sprache an?

Aus $\begin{align*} \frac{1}{h} + \frac{1}{l} = \frac{1}{e} + \frac{1}{2} \end{align*}$ folgt: $\begin{align*} \frac{1}{h} + \frac{1}{l} > \frac{1}{2} \end{align*}$ . Wären nun $\begin{align*} h,l \geq 6 \end{align*}$ , so folgte: $\begin{align*} \frac{1}{h} + \frac{1}{l} \leq \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3} \end{align*}$ . Das steht im Widerspruch dazu, daß die Summe größer als $\begin{align*} \frac{1}{2} \end{align*}$ sein muß. Folglich müssen $\begin{align*} h,l \leq 5 \end{align*}$ sein. Die Flächen müssen mindestens Dreiecke sein: $\begin{align*} h \geq 3 \end{align*}$ . Die Wertigkeit einer Ecke muß auch mindestens 3 sein, sonst ergibt sich keine räumliche Figur: $\begin{align*} l \geq 3 \end{align*}$ . Zusammengefaßt folgt:

$\begin{align*} 3 \leq h,l \leq 5 \end{align*}$

So verbleiben 9 Möglichkeiten für $\begin{align*} (h,l) \end{align*}$ , nämlich $\begin{align*} (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5) \end{align*}$ . Von diesen scheiden weitere 4 aus, weil sie $\begin{align*} \frac{1}{h} + \frac{1}{l} = \frac{1}{e} + \frac{1}{2} \end{align*}$ mit keinem positiven $\begin{align*} e \end{align*}$ erfüllen. $\begin{align*} e \end{align*}$ kann aus der Gleichung für jede Möglichkeit berechnet werden.

19.03.2016, 16:51

alina94

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Zitat:

Original von Leopold
Du hast verwirrende Bezeichnungen. Warum paßt du die Bezeichner nicht der deutschen Sprache an?

e für edges, f für forces etc... Die Bezeichnungen sind aus der Vorlesung übernommen.

Danke für die Antworten euch beiden, habs nun verstanden!

21.03.2016, 07:23

Leopold

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In meinem vorigen Beitrag steckt ein Fehler. Wer findet ihn? Vielleicht Herr de Morgan ...

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