Konvergenz Hybrid aus Folge und Reihe

19.03.2016, 16:57

opax

Konvergenz Hybrid aus Folge und Reihe

Meine Frage:
Hallo,

ich soll folgende Aussage zeigen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n}}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} b_{k} = 0 \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} a_{n}, b_{n} \end{eqnarray*}$ Nullfolgen sind.

Meine Ideen:
Ich möchte zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{b_{k}}{n} \end{eqnarray*}$
beschränkt ist.
Es gilt:
$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{b_{k}}{n}| \leq \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{|b_{k}|}{k} \end{eqnarray*}$
Kann man eine beliebige positive Nullfolge (hier $\begin{eqnarray*} |b_{k}| \end{eqnarray*}$ ) nach oben durch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{x}} \end{eqnarray*}$ mit x>0 abschätzen?

Dann wäre nämlich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{|b_{k}|}{k} \end{eqnarray*}$ konvergent, also nach oben beschränkt.

20.03.2016, 00:52

WebFritzi

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Jede Nullfolge ist beschränkt. Augenzwinkern

20.03.2016, 09:21

HAL 9000

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Der Cauchysche Grenzwertsatz liefert hier übrigens direkt $\begin{align*} \sum_{k=1}^n \frac{b_k}{n} \to 0 \end{align*}$ .

D.h., die Voraussetzung " $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ Nullfolge" kann deutlich abgeschwächt werden, z.B. zu " $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ beschränkt".

23.03.2016, 18:09

opax

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Dieser Satz war mir nicht bekannt. Vielen Dank

23.03.2016, 19:17

WebFritzi

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RE: Konvergenz Hybrid aus Folge und Reihe

Zitat:

Original von opax
Dieser Satz war mir nicht bekannt.

Den brauchst du auch hier nicht. Wie gesagt brauchst du nur, dass $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ als Nullfolge beschränkt ist. Sagen wir, es gilt $\begin{eqnarray*} |b_n|\le K \end{eqnarray*}$ für alle n. Dann folgt
$\begin{eqnarray*} 0\,\le\,\left|\frac{a_{n}}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} b_{k}\right|\,\le\,\frac{|a_{n}|}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}|b_{k}|\,\le\,\frac{|a_{n}|}{n}\sum\limits_{k=1}^{n}K = \frac{|a_{n}|}{n}\cdot n\cdot K = K|a_n|. \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung eine Nullfolge ist, folgt aus dem Sandwich-Lemma die Behauptung.

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