(bedingte) Wahtscheinlichkeiten schätzen

19.03.2016, 18:34

Tippgeber

(bedingte) Wahtscheinlichkeiten schätzen

Meine Frage:
In einer Schuhfabrik sei die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schuh bunt ist 95% und die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schuh klein ist 10%.
Schätzen Sie möglichst genau die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schuh sowohl klein als auch bunt ist. Wann nimmt die Wahrscheinlichkeit die obere Schranke Ihrer Abschätzung an? Wann ist die Wahrscheinlichkeit 9,5%?

Meine Ideen:
Ich stehe wenig auf dem Schlauch.
Definieren wir a=bunt, b=klein. Dann gilt Pr[a] = 0,95, Pr[b]=0.1
Ich habe nun 2 Werte berechnet: $\begin{eqnarray*} Pr[A\cap B)/P(B)]= 0,1 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} Pr[B\cap A)/P(A)]= 0,95 \end{eqnarray*}$

Sind das die beiden Schranken? Ich wollte die zuerst nach addieren, weil ich dachte so würde ich das Gesamtergebnis erhalten, aber es scheint dann ja zu einer Mengenüberschneidung zu kommen.
Ist das so richtig? Ich habe lange nichts mehr mit Wahrscheinlichkeiten gemacht.

19.03.2016, 18:39

Tippgeber

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Habe die Latexcodes leider falsch überneommen. hier nochmal richtig:
1) $\begin{eqnarray*} Pr[A|B] = Pr[A\cap B]/Pr[B]=0.1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} Pr[B|A] = Pr[B\cap A]/Pr[A]=0.95 \end{eqnarray*}$

19.03.2016, 19:26

Dopap

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wie berechnet ? sieht nach abgeschrieben aus. Schauen wir uns das Ganze mal an:

$\begin{align*} \begin{array}{|||c|c|c|}\hline & Bunt & Grau\\\hline Klein & {\color{red}0} & 0 & 0.1\\ Groß & 0 & 0 & 0.90\\ \hline & 0.95 & 0.05& 1\\ \hline \end{array} \end{align*}$

Die Nullen sind noch offen, die rote Null soll geschätzt werden. Was gilt jetzt deiner Meinung nach? Kannst du das nochmals sauber notieren ?

19.03.2016, 19:51

Tippgeber

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Zitat:

Original von Dopap
wie berechnet ? sieht nach abgeschrieben aus. Schauen wir uns das Ganze mal an:

$\begin{align*} \begin{array}{|||c|c|c|}\hline & Bunt & Grau\\\hline Klein & {\color{red}0} & 0 & 0.1\\ Groß & 0 & 0 & 0.90\\ \hline & 0.95 & 0.05& 1\\ \hline \end{array} \end{align*}$

Die Nullen sind noch offen, die rote Null soll geschätzt werden. Was gilt jetzt deiner Meinung nach? Kannst du das nochmals sauber notieren ?

Wenn ich mir deine Tabelle anschaue würde ich einfach die einzelnen Zeilen mulitplizieren und alles in die Tabelle einfügen.

$\begin{align*} \begin{array}{|||c|c|c|}\hline & Bunt & Grau\\\hline Klein & {\color{red}0.095} & 0.005 & 0.1\\ Groß & 0.855 & 0,045 & 0.90\\ \hline & 0.95 & 0.05& 1\\ \hline \end{array} \end{align*}$

Jedoch glaube ich nicht, dass das korrekt ist. Einerseits wurde hier nichts mit oberer und unterer Schranke abgeschätzt und auch vom Sinn her, berechnet man so doch ausschließlich unabhängige Wahrscheinlichkeiten, aber es sollen hier doch bedingte Wahrscheinlichkeiten erhalten werden oder?

20.03.2016, 00:01

Dopap

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$\begin{align*} \begin{array}{|||c|c|c|}\hline & Bunt & Grau\\\hline Klein & {\color{red} p(B)p(K|B)} & 0.005 & 0.1\\ K^c & p(B)p(K^c|B) & 0,045 & 0.90\\ \hline & 0.95 & 0.05& 1\\ \hline \end{array} \end{align*}$

im Falle der Unabhängigkeit gilt:

$\begin{align*} {\color{red} p(B)p(K|B)}=0.095 \quad \Rightarrow\quad p(K|B)=0.1 \end{align*}$

Man könnte sich nun vorstellen , dass diese Wkt auch die Werte Null oder Eins annimmt.
-----------------------------------------------------
Bei Vorgabe von p(K|B)=9.5% müsste

$\begin{eqnarray*} 0.95\cdot 9.5%=9.025%= p(B\cap K) \end{eqnarray*}$ gelten

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