Arkustangens Funktion auflösen

20.03.2016, 21:01

arctan_niete

Arkustangens Funktion auflösen

Hallo Leute,
ich habe hier eine Aufgabe mit der ich etwas Probleme habe und zwar geht es um eine Parameterbestimmung für eine Gleichung mit Arkustagens.

$\begin{eqnarray*} arctan(T_N \sqrt{\frac{1}{2T_N}})-arctan(2 \sqrt{\frac{1}{2T_N}})) = 30° \end{eqnarray*}$

Es sind folgen Tangens-Werte in einer Tabelle gegeben:
$\begin{eqnarray*} \phi~~tan(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0°~~0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 15°~2-\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 30°~\frac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 45°~~1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 60°~~\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung soll nach $\begin{eqnarray*} T_N \end{eqnarray*}$ umgestellt werden, gibt es eine gute Möglichkeit, wenn man nicht gerade diese Umformungsregel für $\begin{eqnarray*} arctan(x)+arctan(y) \end{eqnarray*}$ kennt?

Vielen Dank im Voraus!

Beste Grüße

20.03.2016, 22:24

Leopold

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RE: Arkustangens Funktion auflösen

Zitat:

Original von arctan_niete
Die Gleichung soll nach $\begin{eqnarray*} T_N \end{eqnarray*}$ umgestellt werden, gibt es eine gute Möglichkeit, wenn man nicht gerade diese Umformungsregel für $\begin{eqnarray*} arctan(x)+arctan(y) \end{eqnarray*}$ kennt?

Dafür ist solch eine Formel doch gerade da.

20.03.2016, 22:43

WebFritzi

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Deine Gleichung ist von der Form
$\begin{eqnarray*} \arctan(x) - \arctan(1/x) = \frac\pi 6 \end{eqnarray*}$ .
Ich zeige dir nun, dass
$\begin{eqnarray*} \arctan(x) + \arctan(1/x) = \frac\pi 2 \end{eqnarray*}$
gilt, so dass du nur noch ein einfaches lineares Gleichungssystem lösen musst. Es seien $\begin{eqnarray*} t:=\arctan(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tau:=\arctan(1/x) \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} 1 = x\cdot\frac 1 x = \tan(t)\tan(\tau) = \frac{\sin(t)\sin(\tau)}{\cos(t)\cos(\tau)} \end{eqnarray*}$ .
Umformen ergibt
$\begin{eqnarray*} \cos(t)\cos(\tau) - \sin(t)\sin(\tau) = 0 \end{eqnarray*}$ .
Die linke Seite ist laut einem Additionstheorem gleich $\begin{eqnarray*} \cos(t+\tau) \end{eqnarray*}$ . Also haben wir $\begin{eqnarray*} \cos(t+\tau) = 0 \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} t,\tau\in(-\pi/2,\pi/2) \end{eqnarray*}$ ist das nur für $\begin{eqnarray*} t+\tau = \frac\pi 2 \end{eqnarray*}$ möglich.

EDIT: Oh, ich sehe gerade (deiner und Leopolds Post), dass es wohl ein Additionstheorem für den Arcustangens gibt (kenne ich leider nicht). Dann nimm doch einfach das und vergiss meinen Beitrag. Augenzwinkern

20.03.2016, 23:57

arctan_niete

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Vielen Dank für die Antworten.

Dann gibt es wohl keine andere Möglichkeit das elegant ohne das Additionstheorem zu lösen. Es handelte sich um eine Aufgabe aus der Regelungstechnik und ich konnte mir nicht vorstellen, dass man es nicht anders leicht lösen kann, weil es nicht angegeben war in der Klausur und keine Hilfsmittel erlaubt sind. Dann gehört das wohl zum Allgemeinwissen. Big Laugh

Das Thema ist also schon erledigt. Wink

Grüße

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