Untervektorraum zeigen (von R^2)

21.03.2016, 13:08

Renzel

Untervektorraum zeigen (von R^2)

Meine Frage:
Ist folgende Teilmenge ein Untervektorraum von R^2?
Sei k eine feste, ganze Zahl: A := {(x,y) aus R^2 | x = 5y}

Wie überprüft man das jetzt?

Meine Ideen:
1) Menge darf nicht leer sein. Gegeben, z.B. (0,0) ist drin, da 0 = 5* 0 = 0

2) Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition
Seien (x,y) und (a,b) beide in der Menge A Wenn ihre Summe immer noch drin ist, ist die Menge mit Addition abgeschlossen.

(x,y) ist in A, wenn x = 5y
(a,b) ist in A, wenn a = 5b

=> x + a = 5y + 5b = 5 * (y + b) <=> (x+a, y+b) => Und das ist in A

Kann man das so zeigen?

3) Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation
Sei m aus R^2
und wieder (x,y) aus A

Wie führt man hier den Beweis? Nimmt man wieder die Gleichung und multipliziert sie mit m?

m * x = m * 5 * y <=> (m*x, m*y) und das ist wieder in A

Das erscheint mir irgendwie falsch.

Danke schon mal smile

21.03.2016, 13:24

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Untervektorraum zeigen (von R^2)

Zitat:

Original von Renzel
Sei k eine feste, ganze Zahl: A := {(x,y) aus R^2 | x = 5y}

Hm, in der Definition kommt jetzt aber kein k vor. verwirrt

Zitat:

Original von Renzel
(x,y) ist in A, wenn x = 5y
(a,b) ist in A, wenn a = 5b

=> x + a = 5y + 5b = 5 * (y + b) <=> (x+a, y+b) => Und das ist in A

Kann man das so zeigen?

Wenn man formale Schwächen ausbügelt (ein hingeknalltes (x+a, y+b) ist keine Aussage), geht es:
$\begin{eqnarray*} x + a = 5y + 5b = 5 * (y + b) \Leftrightarrow (x+a, y+b) \in A \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Renzel
Sei m aus R^2

Der Skalarfaktor kommt aus dem Körper K, der hier die reellen Zahlen ist.

Zitat:

Original von Renzel
m * x = m * 5 * y <=> (m*x, m*y) und das ist wieder in A

Das erscheint mir irgendwie falsch.

Auch hier wird wieder ein (m*x, m*y) hingeknallt, statt einfach zu sagen:
m * x = m * 5 * y <=> (m*x, m*y) ist Element von A

21.03.2016, 17:28

Renzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich glaube, ich habe da zwei Aufgaben vermixt. Tut mir Leid. Das k ist gar nicht in der Aufgabe Big Laugh

Ich sehe nur keinen Unterschied zwischen deiner und meiner Variante, bis auf das $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ .
Oder übersehe ich das was?

Auf jeden Fall danke smile

22.03.2016, 09:12

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Renzel
Ich sehe nur keinen Unterschied zwischen deiner und meiner Variante, bis auf das $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ .
Oder übersehe ich das was?

Es ging mir da um formale Schwächen. Vor und hinter einem Äquivalenz- oder Implikationspfeil müssen Aussagen stehen. Und ein hingeknalltes (x+a, y+b) ist nun mal keine Aussage.

Neue Frage »

Antworten »

Untervektorraum zeigen (von R^2)

Verwandte Themen