Beschränktheit und Monotonie

21.03.2016, 19:07

MH15

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Beschränktheit und Monotonie

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe:

a) Zeigen Sie mit der Vollständien Induktion das die Folge Monoton wächst
b) Zeigen Sie das die Folge nach oben beschränkt ist

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 1-\frac{1}{3+an} \end{eqnarray*}$

mit Startwert a0= 0

Meine Ideen:
zu a)

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\geq a_{n} \end{eqnarray*}$

Induktionsverankerung: A(0) gilt da $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{3 }= \frac{2}{3} a \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} a_{0}\leq a_{1} \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: z.z $\begin{eqnarray*} a_{n+2}\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+2}= 1- \frac{1}{3+a_{n+1} }\geq 1-\frac{1}{3+a_{n} } = a_{n+1} \end{eqnarray*}$

zu 2) ich weiß nicht wie ich die 2 zeigen soll.. ich denke mir $\begin{eqnarray*} 0\leq a_{n} \leq 1 \end{eqnarray*}$ bei der 0 bin ich mir sicher da an als kleinsten Wert 0 annehmen kann aber bei der 1 bin ich mir nicht sicher ob an wirklich als größte zahl 1 annehmen kann.

21.03.2016, 19:17

10001000Nick1

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Zuerst mal: Es stimmt alles, was du geschrieben hast. smile

smile

Ob 1 als Wert angenommen wird, ist nicht wichtig. Du musst nur eine obere Schranke der Folge angeben. Das muss aber nicht das Maximum sein (deine Folge hat auch gar kein Maximum). Du könntest also z.B. auch $\begin{eqnarray*} a_n\leq 100 \end{eqnarray*}$ zeigen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings ist 1 das Supremum der Folge, also die kleinste obere Schranke.

21.03.2016, 19:26

MH15

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Also das verstehe ich jetzt nicht ganz verwirrt

verwirrt

Ich muss ja zeigen das die folge nach oben Beschränkt ist also sozusagen das die ab einer gewissen Zahl nicht mehr größer wird. Also Könnte ich Diese Behauptung auch mittels Vollständiger Induktion Zeigen wenn ich annehme : $\begin{eqnarray*} 0\leq a_{n} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsverankerung: A(0) gilt da

$\begin{eqnarray*} 0\leq \frac{2}{3}\leq 1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt :

zu zeigen : $\begin{eqnarray*} 0\leq a_{n+1} \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq 1-\frac{1}{3+an} \leq 1- 0=1 \end{eqnarray*}$

stimmt das ? könnte ich das so machen ?

21.03.2016, 19:31

10001000Nick1

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Der Beweis ist in Ordnung.

Zitat:

Original von MH15
also sozusagen das die ab einer gewissen Zahl nicht mehr größer wird.

Das stimmt nicht. Die Folge kann "immer weiter wachsen", aber trotzdem beschränkt sein.

Z.B. ist $\begin{eqnarray*} \left(-\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und nach oben beschränkt.
Genauso ist es bei der Folge in deiner Aufgabe.

21.03.2016, 19:37

MH15

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vielen Dank aber so richtig habe ich das nicht verstanden.
Also ist der Beweis in ordnung ? aber ich frage mich wie das geht das eine Folge die Beschränkt ist immer weiter wachsen kann dann würde Sie ja eigentlich bis ins unendliche gehen verwirrt

verwirrt

Wenn ich den Grenzwert meiner Dieser Folge ausrechnen müsste wie kann ich da vorgehen ?

21.03.2016, 19:47

MH15

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Also meine idee wäre diese :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \infty } a=1-\frac{1}{3+a_{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a= 1-\frac{1}{3+a_{n} } * (3+an) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a*(3+a)=0 \end{eqnarray*}$

woraus mit dem satz des nullprodukts folgt das der grenzwert 0 sein muss stimmt das ?

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21.03.2016, 19:58

10001000Nick1

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Zitat:

Original von MH15
aber ich frage mich wie das geht das eine Folge die Beschränkt ist immer weiter wachsen kann dann würde Sie ja eigentlich bis ins unendliche gehen

Wie schon gesagt, ist $\begin{eqnarray*} \left(-\frac 1n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine solche streng monoton wachsende beschränkte Folge.

Zitat:

Original von MH15
Wenn ich den Grenzwert meiner Dieser Folge ausrechnen müsste wie kann ich da vorgehen ?

Du hast oben schon gezeigt, dass der Grenzwert der Folge existiert.
Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_{n+1}=\lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ (klar, warum?).

Wenn wir jetzt auf beiden Seiten der Rekursionsgleichung den Grenzwert bilden, dann erhalten wir
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{3+a_n}\right) \end{eqnarray*}$ ;
und wegen der vorherigen Überlegung bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{1}{3+a_n}\right)=1-\frac{1}{3+\lim\limits_{n\to\infty} a_n} \end{eqnarray*}$ .

Wenn man jetzt noch $\begin{eqnarray*} a=\lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ schreibt, muss also gelten: $\begin{eqnarray*} a=1-\frac{1}{3+a} \end{eqnarray*}$ . Diese Gleichung musst du jetzt lösen.

Diese Vorgehensweise funktioniert fast immer bei rekursiv definierten Folgen. Wichtig dabei ist, dass man vorher gezeigt hat, dass die Folge konvergiert (z.B. mit Monotonie und Beschränktheit); sonst macht ja der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n \end{eqnarray*}$ gar keinen Sinn.

Und zu deinem Vorschlag: Da $\begin{eqnarray*} a_1=\frac 23>0 \end{eqnarray*}$ ist und die Folge monoton wächst, kann 0 nicht der Grenzwert sein. Die Umformungen funktionieren so jedenfalls nicht.

21.03.2016, 20:06

MH15

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Vielen Dank das habe ich alles zum Teil verstanden ich soll jetzt umformen :

$\begin{eqnarray*} a= 1-\frac{1}{3+a} *(3+a) \end{eqnarray*}$ und ich habe ja jetzt

$\begin{eqnarray*} a*(3+a) = 1-1 \end{eqnarray*}$

aber damit jetzt der ausdruck links wird muss ja a=0 sein oder a=-3 verwirrt

verwirrt

21.03.2016, 20:10

10001000Nick1

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Da fehlen Klammern. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} a\cdot (3+a)=\left(1-\frac{1}{3+a}\right)\cdot (3+a) \end{eqnarray*}$ . Kommst du jetzt weiter?

Übrigens habe ich oben Blödsinn erzählt: 1 ist nicht das Supremum, also nicht die kleinste obere Schranke. Aber das hättest du sicherlich auch gleich selber bemerkt, nachdem du den Grenzwert berechnet hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von MH15
Vielen Dank das habe ich alles zum Teil verstanden

Besser wäre, wenn du alles komplett verstanden hast. Also frag ruhig nochmal nach, wenn etwas unklar ist. smile

smile

21.03.2016, 20:17

MH15

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ist der Beweis zur beschränktheit trotzdem richtig ?

dann habe ich doch :

$\begin{eqnarray*} a*(3+a)= 2+a \end{eqnarray*}$

nein ich komm leider nicht drauf ich weiß es leider nicht.
Wenn ich die a nach links nehme bringt es mir nichts kannst du mir bitte weiterhelfen ?

21.03.2016, 20:20

10001000Nick1

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Die Beschränktheit hast du trotzdem richtig gezeigt; man muss ja da nicht die kleinste obere Schranke nehmen.

Multipliziere auf der linken Seite die Klammer aus, und bringe dann alles auf eine Seite. Du hast dann eine quadratische Gleichung.

21.03.2016, 20:31

MH15

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ich kriege dann raus :

a^2 2a -2 = 0

soll ich jetzt p/q formel anwenden ?

21.03.2016, 20:38

10001000Nick1

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Was du "sollst", kann ich dir nicht vorschreiben. Aber die pq-Formel ist jedenfalls das gebräuchlichste Mittel zum Lösen von quadratischen Gleichungen.

21.03.2016, 20:42

MH15

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da kommt dann raus :

$\begin{eqnarray*} -a + \sqrt{a^{2}+2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a - \sqrt{a^{2}+2 } \end{eqnarray*}$

ich weiß nicht was mir das weiterbringt :/

nur mein a muss größer gleich 2 sein

21.03.2016, 20:43

10001000Nick1

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Eigentlich solltest du zwei Lösungen für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rausbekommen; da kann das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht noch drin stehen.
In die pq-Formel setzt du doch nur die Koeffizienten ein.

21.03.2016, 20:47

MH15

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Sorry da kommt

X1=0,73
X2=2,73

21.03.2016, 20:52

MH15

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Ich denke das a=0,73 der Grenzwert ist aber ich bin mir nicht sicher. verwirrt

verwirrt

21.03.2016, 20:54

10001000Nick1

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Schöner wäre es, wenn du die exakten Lösungen aufschreibst. Und bei der zweiten Lösung muss noch ein Minus davor.

Dein Tipp, dass $\begin{eqnarray*} a\approx 0.73 \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist, ist richtig. Das musst du jetzt noch begründen. Schau dir dazu nochmal an, was du oben schon über die Folge gezeigt hast.

21.03.2016, 20:58

MH15

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Ich habe ja gezeigt das die Folge an >= o ist und deswegen kann nur der wert 0,73 der Grenzwert sein.
Aber ich frage mich wie ich ohne taschenrechner das zeigen soll wenn sowas in der Klausur kommt das war eine alte Klausuraufgabe. Aber ich denke es reicht aus-

21.03.2016, 21:04

10001000Nick1

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Als exakte Lösungen der Gleichungen solltest du $\begin{eqnarray*} a_1=\sqrt 3-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2=-\sqrt 3-1 \end{eqnarray*}$ erhalten haben.
Und der Lösung $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ sieht man eigentlich direkt an, dass sie negativ ist (wegen $\begin{eqnarray*} -\sqrt 3<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1<0 \end{eqnarray*}$ ).

Und man kann sich auch überlegen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ zwischen 1 und 2 liegt; deswegen liegt $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ zwischen 0 und 1. Das passt also zu dem, was du am Anfang gezeigt hast.

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