Kern einer Matrix

22.03.2016, 12:13

Erdklaus

Kern einer Matrix

Meine Frage:
Ich habe eine lineare Abbildung von $\begin{eqnarray*} R^4 -> R^3, x -> Ax \end{eqnarray*}$
Mit der Matrix A
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 5 \\ -2 & 4 & -3 & -7 \\ 3 & -6 & 4 & 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Um den Kern (und dessen Dimension, Basis) zu bestimmen, muss man diese Matrix ja mit einem Vektor x multiplizieren(aus R^4) und diesen = 0 setzen. Ich habe das dann mit dem Gauß-Verfahren umgeformt und bekomme das hier raus als Matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur weiß ich jetzt nicht weiter. Wie bekomme ich daraus den Kern?

Das ist ja die Zeilen-Stufen-Form. d.h. die Anzahl der Zeilen, die nicht null sind, ist die Kern-Dimension, oder?Oder gilt das nur beim Bild?

Zum berechnen des Kern setze ich jetzt
$\begin{eqnarray*} x_4 = t => x_3 = -t => x_1 - 2x_2 + 2t = 0 \end{eqnarray*}$

Aber hier komme ich nicht weiter. Was ist der nächste Schritt? Und ist dort die Dimension wirklich 1? Muss ja sein, weil die Dim. vom Bild doch 3 ist, oder nicht?

Danke smile

Meine Ideen:
siehe oben

22.03.2016, 12:54

Elvis

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Wenn ich richtig gezählt habe, ist die Anzahl der von 0 verschiedenen Zeilen gleich 2. Setze $\begin{eqnarray*} x_2=s \end{eqnarray*}$ . Verwende den Rangsatz, um die Dimension des Bildes zu bestimmen.

22.03.2016, 12:56

klarsoweit

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RE: Kern einer Matrix

Zitat:

Original von Erdklaus
Das ist ja die Zeilen-Stufen-Form. d.h. die Anzahl der Zeilen, die nicht null sind, ist die Kern-Dimension, oder?Oder gilt das nur beim Bild?

Für eine lineare Abbildung f: V-->W gilt: dim(V) = dim(Ker(f)) + dim(Im(f))
Da hier dim(V) = 4 und dim(Im(f)) = "Anzahl der Nicht-Nullzeilen" = 2 ist, muß also dim(Ker(f)) = 2 sein.

Für die Bestimmung einer Basis des Kerns brauchst du erst mal die freien Variablen.
Wie bestimmt man nun bei einem LGS die frei wählbaren Variablen?

Etwas leichter tut man sich mit der Beantwortung dieser Frage, wenn man zunächst die nicht frei wählbaren Variablen bestimmt.

Befindet sich die Matrix eines LGS in Zeilenstufenform, dann gilt:
Die nicht frei wählbaren Variablen sind jetzt genau diejenigen Variablen, die jeweils dem ersten Nicht-Nullelement jeder Zeile entsprechen. Alle anderen Variablen sind frei wählbar.

Zur Bestimmung der Basis des Lösungsraums des homogenen GLS setzt man sukzessive eine frei wählbare Variable gleich 1, die restlichen gleich Null. Dann bestimmt man die fehlenden Komponenten. Die sich ergebenden Lösungsvektoren sind automatisch linear unabhängig.

Übrigens brauchst du nicht noch den Nullvektor als 5. Spalte in die Matrix reinnehmen. smile

EDIT: zu spät. Hatte aber auch mehr Text. traurig

22.03.2016, 13:34

Erdklaus

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danke

Okay, ich hab mal was versucht. Ich habe $\begin{eqnarray*} x_2 = s \end{eqnarray*}$ gesetzt. Damit sind ja s und t die frei wählbaren variablen, oder? $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ sind nicht freiwählbar. Die sind jeweils durch s und t bestimmt.

Dann habe ich mal t = 0 gesetzt:

$\begin{eqnarray*} x_1 -2s = 0 <=> x_1 = 2s \end{eqnarray*}$

Dann s = 0:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 2t = 0 <=> x_1 = -2t \end{eqnarray*}$

Sind das dann die beiden Basisvektoren, die sich dann nur in ihrer ersten Komponente unterscheiden?

22.03.2016, 14:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von Erdklaus
Dann habe ich mal t = 0 gesetzt:

Das ist unnütz, denn t ist nun mal ein Parameter. Ausgehend von x_4 = t und x_2 = s mußt du die beiden anderen Variablen ausrechnen.

22.03.2016, 17:20

Erdklaus

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Das wären ja dann $\begin{eqnarray*} x_3 = -t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 = -2s + 2t \end{eqnarray*}$

Aber von hier weiß ich eben nicht weiter :/

22.03.2016, 18:35

Elvis

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Jetzt wird es ganz leicht ... schreibe alle 4 Variablen hin, dann hast du die Lösung.

22.03.2016, 19:03

Erdklaus

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Okay, aber dann habe ich doch nur einen Vektor. Aber für ne Basis des Kerns (der ja 2 Dimensionen hat), brauch ich doch 2 Vektoren.

Ich steh grad voll aufm Schlauch oO

22.03.2016, 19:59

Elvis

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x1=-2s+2t,x2=s,x3=-t,x4=t ... x=s(-2,1,0,0)+t(2,0,-1,1)

1 oder 2 Vektoren ... nochmal nachzählen

23.03.2016, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Erdklaus
und $\begin{eqnarray*} x_1 = -2s + 2t \end{eqnarray*}$

Das ist falsch und entsprechend ist dann auch dieses:

Zitat:

Original von Elvis
x=s(-2,1,0,0)+t(2,0,-1,1)

falsch. Wenn du die Lösungen x_1, ..., x_4 als Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreibst und diesen dann in 2 Vektoren aufsplittest, ergeben sich daraus die beiden Basisvektoren.

Ich bleibe aber dabei: meine Methode ist einfacher und relativ narrensicher. Augenzwinkern

23.03.2016, 11:17

Elvis

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Oh, da habe ich nicht aufgepasst, $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ist falsch Hammer

Sch...-Rechenfehler, immer wieder derselbe Fehler.

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