Konvergenz

22.03.2016, 15:19

Mathe<3

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Konvergenz

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe:
1) für $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sei die Potenzreihe :

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^-a} }{(\sqrt[4]{(k+1)^2)}^(0,5a^2) } \end{eqnarray*}$

(Die (0,5a^2) ist eine potenz im nenner )

Bestimmen Sie bitte die größtmögliche Menge A aller Parameter a für die diese in z= 1 konvegieren.

Meine Ideen:
Ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll ich bitte um hilfe :/

LaTeX-Tags repariert. Steffen

22.03.2016, 15:51

HAL 9000

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Was an diesem Term (der übrigens anscheinend noch immer fehlerhaft ist) soll den bitteschön eine Potenzreihe sein? Und in $\begin{align*} z \end{align*}$ ? Ich sehe gar kein $\begin{align*} z \end{align*}$ im Term. unglücklich

unglücklich

Fragen über Fragen - anscheinend muss da einiges repariert werden.

22.03.2016, 16:08

Mathe<3

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tut mir leid so ist es richtig

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^{-a}} }{(\sqrt[4]{(k+1)^2)}^{0,5a^2} } z^k \end{eqnarray*}$

Edit by IfindU: Die Klammern { } gruppieren LaTeX-Objekte wie z.B. Exponenten.

23.03.2016, 08:32

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe<3
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^{-a}} }{(\sqrt[4]{(k+1)^2)}^{0,5a^2} } z^k \end{eqnarray*}$

Das nochmal mit korrekter Klammersetzung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^{-a}} }{\left(\sqrt[4]{(k+1)^2} \right)^{0,5a^2}} z^k \end{eqnarray*}$

Ansonsten überlasse ich HAL 9000 das Feld. smile

smile

23.03.2016, 17:24

MH15

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Also Leute ich habe die Aufgabe gemacht und bekomme da a>= 3/4 raus aber ich weiß nicht ob das stimmt und was das jetzt zu bedeuten hat verwirrt

verwirrt

und im nenner muss a mal die wurzel stehen und nicht 4 mal die wurzel es tut mir leid für den fehler unglücklich

unglücklich

23.03.2016, 17:26

MH15

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Ich hab geantwortet da ich und Mathe<3 an dieser Aufgabe sitzen. smile

smile

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24.03.2016, 08:40

klarsoweit

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Zitat:

Original von MH15
und im nenner muss a mal die wurzel stehen und nicht 4 mal die wurzel es tut mir leid für den fehler unglücklich

unglücklich

Da wird nicht so ganz klar, was damit gemeint ist. Deine Beschreibung weist auf eine Multiplikation hin. Die gibt es aber im Nenner nicht. Es wäre ja auch zu einfach gewesen, meinen Beitrag zu zitieren und den Latexcode entsprechend zu korrigieren. Jetzt machen wir hier Ratespielchen. unglücklich

unglücklich

Also wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^{-a}} }{\left(\sqrt[a]{(k+1)^2} \right)^{0,5a^2}} z^k \end{eqnarray*}$ bzw. für z=1: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^{-a}} }{\left(\sqrt[a]{(k+1)^2} \right)^{0,5a^2}} \end{eqnarray*}$ ?

Am besten wendest du mal auf den Summandenterm die Potenzregeln an und formst das auf einen Ausdruck der Form $\begin{eqnarray*} (k+1)^{hugo} \end{eqnarray*}$ um.

24.03.2016, 09:50

MH15

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Also habe das jetzt nochmal gemacht und komme auf a>= 1/2 und das ist denke ich jetzt das richtige Big Laugh

Big Laugh

24.03.2016, 09:59

klarsoweit

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Ohne das jetzt im Detail gerechnet zu haben, aber für a=1/2 sehe ich keine Konvergenz. verwirrt

verwirrt

24.03.2016, 10:05

MH15

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Nein es muss a>1/2 sein tut mir leid Big Laugh

Big Laugh

24.03.2016, 10:48

HAL 9000

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Für $\begin{align*} a>\frac{1}{2} \end{align*}$ konvergiert die Reihe mit $\begin{align*} z=1 \end{align*}$ , richtig. Aber es gibt auch noch weitere reelle $\begin{align*} a \end{align*}$ , für die das auch der Fall ist, insofern bist du noch nicht fertig mit

Zitat:

Original von Mathe<3
Bestimmen Sie bitte die größtmögliche Menge A aller Parameter a für die diese in z= 1 konvegieren.

24.03.2016, 10:56

MH15

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hmm ich verstehe das nicht es ist doch $\begin{eqnarray*} a\in \left(\frac{1}{2};\infty \right) \end{eqnarray*}$

was kann ich denn da noch machen :/

24.03.2016, 10:58

HAL 9000

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War ich denn nicht deutlich genug? Es gibt auch noch weitere $\begin{align*} a \end{align*}$ , wo Konvergenz vorliegt, z.B. $\begin{align*} a=\frac{1}{4} \end{align*}$ .

24.03.2016, 11:08

MH15

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Doch das warst du. Nur verstehe ich nicht genau woran ich das sehe, da ich dachte die Menge ist nur element des Intervalls $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{2};\infty \right) \end{eqnarray*}$ also hab ich irgendein Denkfehler. a=1/4 wäre zum Beispiel nicht in meiner Menge enthalten. verwirrt

verwirrt

24.03.2016, 11:20

MH15

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Ah ok. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{+} \end{eqnarray*}$ muss a>=0 sein.

24.03.2016, 13:35

HAL 9000

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$\begin{align*} a\geq 0 \end{align*}$ als Lösung stimmt auch nicht: Zum einen ist der Koeffiziententerm für $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ gar nicht erklärt. Zum anderen hat klarsoweit bereits festgestellt, dass $\begin{align*} a=\frac{1}{2} \end{align*}$ nicht zur Lösungsmenge gehört.

Am besten beenden wir mal die Raterei und gehen das ganze seriöser an: Warum stellst du nicht einfach deinen Rechenweg vor? Dann können wir gemeinsam analysieren, wo der Fehlschluss liegt.

24.03.2016, 14:44

MH15

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Also ich habe das hier raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[4a^2]{(k+1)^{-a}} }{\left((\sqrt[a]{(k+1)^{2})})^{0,5a^{2} } \right) } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{\sqrt[4a^{2}]{(k+1)^{a}} } }{{\left((\sqrt[a]{(k+1)^{2})})^{0,5a^{2} } \right) } } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{(k+1)^{1/4a^{2}*a} }}{(k+1)^{1/a*2*0,5a{2}}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{((k+1)^{1/4a}} }{(k+1)^{a}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k+1)^{1/4a} } * \frac{1}{(k+1)^{a}} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(k+1)^{1/4a+a}} \end{eqnarray*}$

soo an dieser stelle nutze ich aus das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{p} } \end{eqnarray*}$ genau dann konvegiert wenn $\begin{eqnarray*} p\in \left(1;\infty \right) \end{eqnarray*}$

deswegen setze ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4a}+a > 1 \end{eqnarray*}$

und wenn ich das löse kriege ich : $\begin{eqnarray*} (a-\frac{1}{2})^{2} \end{eqnarray*}$
und deswegen a> 1/2

ich hoffe ihr könnt mir jetzt helfen Freude

Freude

24.03.2016, 15:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von MH15
deswegen setze ich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4a}+a > 1 \end{eqnarray*}$

Bis hierhin Ok. Und dann verlässt dich leider die Gründlichkeit:

Für positiv reelle $\begin{align*} a \end{align*}$ ist diese deine letzte Ungleichung äquivalent zu $\begin{align*} \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 > 0 \end{align*}$ .

Welche Lösungen hat nun diese Ungleichung? Zunächst mal Wurzelziehen ergibt $\begin{align*} \left|a-\frac{1}{2}\right| > 0 \end{align*}$ , und das bedeutet $\begin{align*} a\neq \frac{1}{2} \end{align*}$ , also zuzüglich zu deinen Lösungen auch noch $\begin{align*} 0<a<\frac{1}{2} \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} a<0 \end{align*}$ ist hingegen $\begin{align*} \frac{1}{4a}+a < 0 <1 \end{align*}$ , das sind also keine Lösungen, und $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ natürlich auch nicht wegen der Undefiniertheit einiger Terme.

24.03.2016, 15:17

MH15

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ich habe eigentlich an der stelle nichts anderes gemacht als :

$\begin{eqnarray*} (a-\frac{1}{2})^{2} > 0 /* \sqrt[2]{x} \end{eqnarray*}$

somit fällt die potenz auf der linken seite weg und man kann die 1/2 auf die andere seite machen geht das nicht ?

aber ansonsten :

$\begin{eqnarray*} (a-\frac{1}{2})^{2} > 0 \end{eqnarray*}$

ist nichts anderes als :

$\begin{eqnarray*} a^2 -a +1/2 > 0 \end{eqnarray*}$

und das hätte die lösungen :

$\begin{eqnarray*} \frac{a+\sqrt{a^2-1} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a-\sqrt{a^2-1} }{2} \end{eqnarray*}$

aber was hilft mir das weiter ?

24.03.2016, 15:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von MH15
ich habe eigentlich an der stelle nichts anderes gemacht als :

$\begin{eqnarray*} (a-\frac{1}{2})^{2} > 0 /* \sqrt[2]{x} \end{eqnarray*}$

somit fällt die potenz auf der linken seite weg

Eben nicht!!!

Deine Rechnung $\begin{align*} \sqrt{x^2}=x \end{align*}$ gilt nur für nichtnegativ reelle $\begin{align*} x \end{align*}$ !!!

Weiß man nur, dass x reell ist (und bei $\begin{align*} x=a-\frac{1}{2} \end{align*}$ hier weiß man nicht von vornherein $\begin{align*} x\geq 0 \end{align*}$ unglücklich

unglücklich

), so gilt erstmal nur $\begin{align*} \sqrt{x^2}=|x| \end{align*}$

Zitat:

Original von MH15
$\begin{eqnarray*} a^2 -a +1/2 > 0 \end{eqnarray*}$

und das hätte die lösungen :

$\begin{eqnarray*} \frac{a+\sqrt{a^2-1} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a-\sqrt{a^2-1} }{2} \end{eqnarray*}$

aber was hilft mir das weiter ?

Unfug hoch drei.

24.03.2016, 15:38

MH15

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aber ich soll das doch für alle $\begin{eqnarray*} a\in R+ \end{eqnarray*}$ machen !!

24.03.2016, 15:46

MH15

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Heißt es meine lösung wäre R+/{0;1/4}

24.03.2016, 17:01

HAL 9000

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$\begin{align*} A = \mathbb{R}^+\setminus\left\{0, \frac{1}{2}\right\} \end{align*}$

Zitat:

Original von MH15
aber ich soll das doch für alle $\begin{eqnarray*} a\in R+ \end{eqnarray*}$ machen !!

Ein unüberlegtes "aber":

$\begin{align*} a\in \mathbb{R}^+ \end{align*}$ bedeutet i.a. NICHT $\begin{align*} a-\frac{1}{2}\in \mathbb{R}^+ \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

P.S.: Ist schon seltsam, dass ein so langes Rumdiskutieren nötig ist bis du endlich einsiehst, dass $\begin{align*} \left(a-\frac{1}{2}\right)^2 > 0 \end{align*}$ auch die Lösungen $\begin{align*} a<\frac{1}{2} \end{align*}$ hat. unglücklich

unglücklich

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