Fläche richtig parametrisieren

22.03.2016, 22:54

Arnulf123

Fläche richtig parametrisieren

Hallo, bei folgender Aufgabe bin ich etwas verunsichert: [attach]41182[/attach]

Aufgabe a) habe ich soweit keine Probleme: Kegel mit Kegelspitze im Ursprung, Radius 2 und Höhe ebenfalls 2.

Aufgabe b) Wie soll ich einen Kegelmantel im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ mit Polarkoordinaten parametrisieren? Ich hätte jetzt spontan gesagt es müssten Zylinderkoordinaten sein, oder habe ich da ein Denkfehler? Natürlich könnte man den Kegelmantel auch "abrollen" und in einer Ebene darstellen, aber ob das hier wirklich gewollt ist weis ich nicht.

Meine Parametrisierung würde in Zylinderkoordinaten wie folgt aussehen:

$\begin{eqnarray*} M= \left\{\begin{pmatrix} r\cdot cos(\phi) \\ r\cdot sin(\phi) \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot cos(\phi) \\ r \cdot sin(\phi) \\ z=x_3=\sqrt{(r \cdot cos(\phi))^{2} + (r \cdot sin(\phi))^{2} }=r \ \end{pmatrix} mit \begin{pmatrix} \phi \in [0,2\pi] \\ r \in [0,2] \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Oder:

$\begin{eqnarray*} M= \left\{\begin{pmatrix} r\cdot cos(\phi) \\ r\cdot sin(\phi) \\ z \end{pmatrix} mit \begin{pmatrix} \phi \in [0,2\pi] \\ r \in [0,2] \\ z \in [0,r] \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen was richtig ist?

22.03.2016, 23:44

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste ist richtig. Das zweite ist ein Volumen und zwar der kleinste Zylinder, der den Kegel enthält.

23.03.2016, 08:03

Arnulf123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Das erste ist richtig. Das zweite ist ein Volumen und zwar der kleinste Zylinder, der den Kegel enthält.

Ok, erstmal Danke! Gut dann rechne ich mal mit der ersten Parametrisierung weiter.

23.03.2016, 08:46

Arnulf123

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Fläche richtig parametrisieren
Also für die Fläche habe ich jetzt $\begin{eqnarray*} A_M =\sqrt{2} \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \int_{r=0}^{2} \! r \, dr \, d\phi= 4\sqrt{2} \pi \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hänge ich aber bei der Aufgabe d): Wie soll ich einen Integralsatz (Gauß oder Stokes) richtig anwenden wenn ich kein Skalar- oder Vektorfeld habe?
Mir ist nicht ganz klar wie ich dann das Volumen mit solch einem Satz berechnen soll. Ohne Integralsatz wüsste ich wie es geht.

23.03.2016, 10:29

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Verwende zur Volumenberechnung des Gaußschen Satz

$\begin{eqnarray*} \int div(\vec F)\,\,dV=\oint \vec F\,\,dA \end{eqnarray*}$

Wähle als Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F=\tfrac{1}{3}\cdot \vec x \end{eqnarray*}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray*} div(\vec F)=1 \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in den Gaußschen Satz liefert

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int 1\,\,dV}_{\text{Kegelvolumen}}=\underbrace{\tfrac{1}{3}\cdot \oint \vec x\,\,dA}_{\text{Flächenintegral}} \end{eqnarray*}$

Das Flächenintergral erstreckt sich über die Mantelfläche des Kegels und über dessen "Deckel" (=Kreisfläche). Da das Differenzial $\begin{eqnarray*} d\vec A \end{eqnarray*}$ senkrecht auf der Mantelfläche steht und der Integrand $\begin{eqnarray*} \vec x \end{eqnarray*}$ parallel dazu liegt, folgt $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot d\vec A=0 \end{eqnarray*}$ . Demnach verschwindet das Teilintegral über den Kegelmantel. Zu berechnen bleibt nur das Flächenintegral über den Deckel (=Kreisfläche). Da der Deckel parallel zur 12-Ebene liegt, zeigt dessen Normalvektor Richtung der 3-Achse, also $\begin{eqnarray*} \vec n=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ . Das Flächendifferenzial lautet also $\begin{eqnarray*} d\vec A=\underbrace{(0|0|1)}_{\vec n}\cdot dA \end{eqnarray*}$ . Zu berechnen bleibt also folgendes Integral über den Kreis

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int 1\,\,dV}_{\text{Kegelvolumen}}=\underbrace{\tfrac{1}{3}\cdot \int \overbrace{(x_1|x_2|x_3)}^{\vec x}\cdot \overbrace{(0|0|1)}^{\vec n} \,\,dA}_{\text{Flächenintegral über Deckel}} \end{eqnarray*}$

Rechne das Skalarprodukt im Integranden aus. In Zylinderkoordinaten lautet das Flächendifferenzial $\begin{eqnarray*} dA=r\,d\phi dr \end{eqnarray*}$ . Nun kannst du alles integrieren und erhälst die bekannte Formel für das Volumen eines Kegels.

23.03.2016, 14:35

Arnulf123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ehos
Verwende zur Volumenberechnung des Gaußschen Satz

$\begin{eqnarray*} \int div(\vec F)\,\,dV=\oint \vec F\,\,dA \end{eqnarray*}$

Wähle als Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F=\tfrac{1}{3}\cdot \vec x \end{eqnarray*}$ , woraus folgt $\begin{eqnarray*} div(\vec F)=1 \end{eqnarray*}$ . Einsetzen in den Gaußschen Satz liefert

Vielen Dank für deine ausführliche Hilfestellung, jetzt interessiert mich aber noch weshalb man für das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F=\tfrac{1}{3}\cdot \vec x \end{eqnarray*}$ als Ansatz wählt.

23.03.2016, 17:20

Arnulf123

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arnulf123

Zitat:

Ok, mir ist jetzt klar weshalb, damit die Divergenz den Wert "1" annimmt.

23.03.2016, 17:45

Arnulf123

Auf diesen Beitrag antworten »

So, habe mal versucht das Endergebnis zu berechnen: $\begin{eqnarray*} {\int 1\,\,dV}={\tfrac{1}{3}\cdot \int {(x_1|x_2|x_3)}\cdot {(0|0|1)} \,\,dA}=\frac{1}{3} \cdot \int_{\phi=0}^{2\pi} \! \int_{r=0}^{2} \! \begin{pmatrix} r\cdot cos(\phi) \\ r\cdot sin(\phi) \\ r \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \, r d \phi \, dr = \frac{16}{9} \pi<br /> \end{eqnarray*}$

24.03.2016, 09:32

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis ist leider nicht richtig, denn das Volumen eines Kegel ist bekanntlich $\begin{eqnarray*} V=\tfrac{1}{3}r^2\pi h \end{eqnarray*}$ . Einsetzen von r=2 und h=2 liefert den korrekten Wert $\begin{eqnarray*} V=\tfrac{8}{3}\pi \end{eqnarray*}$ . Das gleiche Ergebnis bekommst du mit meiner Formel:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{\int 1\,\,dV}_{\text{Kegelvolumen}}=\underbrace{\tfrac{1}{3}\cdot \int \overbrace{(x_1|x_2|x_3)}^{\vec x}\cdot \overbrace{(0|0|1)}^{\vec n} \,\,dA}_{\text{Flächenintegral über Deckel}} \end{eqnarray*}$

Das Skalarprodukt im Integranden liefert den Wert $\begin{eqnarray*} x_3=\text{Höhe}=2 \end{eqnarray*}$ . Das Differenzial in Polarkoordinanten lautet $\begin{eqnarray*} dA=r\,d\phi dr \end{eqnarray*}$ . Zu berechnen ist also das Integral

$\begin{eqnarray*} I=\tfrac{1}{3}\cdot \int_{r=0}^2\int_{\phi=0}^{2\pi}\,2r\,d\phi dr=\tfrac{8}{3}\pi \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Fläche richtig parametrisieren

Verwandte Themen