Beweis mittels Induktion

23.03.2016, 19:30

MichaelKaprosky

Beweis mittels Induktion

Meine Frage:
Zeigen Sie dass 21 Teiler von $\begin{eqnarray*} 4^{n+1} + 5^{2n-1} \end{eqnarray*}$ für alle positive ganze Zahlen n ist.

Meine Ideen:
Liebe Mathefreunde,

Ich bin leider an einem Punkt hängen geblieben. Ich bedanke mich für jeden Tipp.

Induktionsanfang :: n = 1 : $\begin{eqnarray*} 4^{1+1} + 5^{2*1-1} \end{eqnarray*}$ = 21 durch 21 Teilbar, gilt auch für alle positive ganze Zahlen 2,3,4...

Induktionsvoraussetzung :: Nehmen wir mal an dass 21 Teiler von $\begin{eqnarray*} 4^{n+1} + 5^{2n-1} \end{eqnarray*}$ ist

Induktionsschritt :: n->n+1
$\begin{eqnarray*} 4^{n+1+1} + 5^{2n+2-1} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4^{n+2} + 5^{2n+1} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4^n*4^2 + 5^{2n}*5^1 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4^n*16 + 5^{2n}*5 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4^n*(21-5) + 5^{2n}*5 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4^n*21-4^n*5 + 5^{2n}*5 \end{eqnarray*}$

Wie hier zu sehen ist : der erste Term $\begin{eqnarray*} 4^n*21 \end{eqnarray*}$ schon durch 21 teilbar ist aber ich kämpfe mich gerade zu zeigen dass der zweiten Term also $\begin{eqnarray*} -4^n*5 + 5^{2n}*5 \end{eqnarray*}$ auch durch 21 teilbar ist( das wäre also möglich wenn ich den Term zu meiner Induktionsvoraussetzung bringen könnte... ich habe schon das Gefühl dass ich näher zu der Lösung stehe aber komme ich einfach nicht weiter... Kann jemand mir helfen ? .. Vielen Dank und viele Grüße.

23.03.2016, 19:40

10001000Nick1

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RE: Beweis mittels Induktion

Zitat:

Original von MichaelKaprosky
das wäre also möglich wenn ich den Term zu meiner Induktionsvoraussetzung bringen könnte

Gute Idee. Und deswegen würde ich an der Stelle

Zitat:

Original von MichaelKaprosky
Induktionsschritt :: n->n+1
$\begin{eqnarray*} 4^{n+1+1} + 5^{2n+2-1} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4^{n+2} + 5^{2n+1} \end{eqnarray*}$

so weiter machen:
$\begin{eqnarray*} =4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1}=4\cdot 4^{n+1}+4\cdot 5^{2n-1}+... \end{eqnarray*}$ .

23.03.2016, 19:47

MichaelKaprosky

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RE: Beweis mittels Induktion
Edit (mY+):
Vollquote entfernt! Warum quotest du den GANZEN Beitrag?
Anstatt den Zitat-Button kannst du auch den ANTWORT-Button verwenden!!

Danke ! Jetzt endlich mal habe ich es hingekriegt smile

24.03.2016, 16:57

Mathema

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Ist der Weg per Induktion eigentlich vorgeschrieben? Ansonsten kann man relativ leicht auch zeigen:

$\begin{eqnarray*} 4^{n+1} + 5^{2n-1} \equiv 1^{n+1}+1^n\cdot2^{-1} \equiv 1+2 \equiv 0 \quad(3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^{n+1} + 5^{2n-1} =4^{n+1}+25^n\cdot5^{-1} \equiv 4^{n+1}+4^n \cdot 3=7\cdot4^n \equiv 0 \quad(7) \end{eqnarray*}$

edit: Oder direkt:

$\begin{eqnarray*} 4^{n+1} + 5^{2n-1} =4\cdot4^n+25^n\cdot5^{-1} \equiv 4\cdot 4^n+4^n \cdot 17=21\cdot4^n \equiv 0 \quad(21) \end{eqnarray*}$

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