Beziehung mit Wurzeln in Gaußklammern beweisen

23.03.2016, 20:26

NaOH

Beziehung mit Wurzeln in Gaußklammern beweisen

Meine Frage:
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht mehr weiter:

Beweise, dass $\begin{eqnarray*} \left[\sqrt{n}+\sqrt{n+1} \right] = \left[\sqrt{4n+2} \right] \end{eqnarray*}$ gilt, wobei n; positive ganze Zahl (Die eckigen Klammern sollen Gaußklammern sein)

Meine Ideen:
Ich habe keinen Plan, wie ich mit dieser Aufgabe umgehen soll. Könnt ihr mir helfen, wie man eine Aussage beweist?

24.03.2016, 00:32

Dangalf

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Zeige
$\begin{eqnarray*} \sqrt{4n+1} < \sqrt{n}+\sqrt{n+1} < \sqrt{4n+2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \left[\sqrt{4n+1} \right] = \left[\sqrt{4n+2} \right] \end{eqnarray*}$ .

24.03.2016, 00:39

mYthos

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Forme den linken Term so um, indem du ihn quadrierst und ihn anschließend wieder unter die Wurzel schreibst:

$\begin{eqnarray*} \sqrt n + \sqrt{n+1} = \sqrt{2n + 1 + 2\sqrt{n^2+n}} \end{eqnarray*}$

Dann quadriere beide Seiten unter der Gaussklammer:

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2n + 1 + 2\sqrt{n^2+n}\rfloor = \lfloor 4n + 2 \rfloor \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2\sqrt{n^2+n}\rfloor = \lfloor 2n + 1 \rfloor \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lfloor n \sqrt{1+\frac 1 n}\rfloor = \lfloor n + \frac 1 2 \rfloor \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} .... \end{eqnarray*}$

mY+

24.03.2016, 08:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von mYthos
Dann quadriere beide Seiten unter der Gaussklammer:

$\begin{eqnarray*} \lfloor 2n + 1 + 2\sqrt{n^2+n}\rfloor = \lfloor 4n + 2 \rfloor \end{eqnarray*}$

An der Stelle sollte man erläuternd hinzufügen, dass man im vorliegenden Fall auf die für $\begin{align*} \lfloor a \rfloor = \lfloor b \rfloor \end{align*}$ hinreichende (!) Bedingung $\begin{align*} \lfloor a^2 \rfloor = \lfloor b^2 \rfloor \end{align*}$ spekuliert (Vor.: $\begin{align*} a,b \end{align*}$ positiv reell). Notwendig ist diese letztere Bedingung nämlich nicht für ersteres.

24.03.2016, 15:34

NaOH.

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Danke!
Vielen Dank euch allen! Es hat mir sehr geholfen. Jetzt weiß ich, wie man damit umgeht smile

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