Tangenten und Krümmungsverhalten - Seite 2

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01.04.2016, 11:07

Dopap

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wenn du chatten willst, dann geh' zu Facebook.

Das ist zwar jetzt die richtige Gerade, aber immer noch eine Relation.

01.04.2016, 12:16

Aths

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Sorry, aber was soll ich dazu sonst antworten? Welche Angabe muss man noch machen, damit es eine Verbindungslinie ist?

01.04.2016, 14:54

Dopap

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$\begin{eqnarray*} y(x):=-5 \qquad x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

oder auch $\begin{eqnarray*} y: \mathbb R \rightarrow \{-5\} \quad x \mapsto -5 \end{eqnarray*}$

so ist auch die Wertemenge ersichtlich.

01.04.2016, 15:18

Aths

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Okay, vielen Dank.

01.04.2016, 16:08

mYthos

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In der "x-y - Schreibweise" einfach: $\begin{eqnarray*} y = -5 \end{eqnarray*}$
In der Parameterdarstellung der Geradengleichung: $\begin{eqnarray*} x = t; y = -5 \end{eqnarray*}$
Das bedeutet, alle Punkte auf dieser Geraden haben eine beliebige x-Koordinate, aber die y-Koordinate ist überall $\begin{eqnarray*} -5 \end{eqnarray*}$

mY+

01.04.2016, 16:40

Aths

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Das ist verständlich, vielen Dank.

01.04.2016, 16:44

mYthos

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Hast du die 2. Aufgabe auch schon erledigt?

01.04.2016, 20:08

Aths

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Die würde ich jetzt machen. Um ^2x abzuleiten brauche ich den logarithmus naturalis, oder?

01.04.2016, 20:53

mYthos

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Nicht bei der e-Funktion, denn es ist ohnehin $\begin{eqnarray*} \ln e = 1 \end{eqnarray*}$ .
Du musst wissen, dass die Ableitung der e-Funktion wiederum dieselbe e-Funktion ist, welche aber gegebenenfalls nach der Kettenregel noch mit der inneren Ableitung zu multiplizieren ist.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-kx} \ \to \ f \ ' (x) = -k \cdot e^{-kx} \end{eqnarray*}$

Also behandle deine Funktion auf die gleiche Weise und berechne bitte gleich den Extremwert.
Nicht wieder zeilenweise posten, denn wir haben hier ja wirklich keinen Chat*

(*)
(In Zeiten des IRC hat es wirklich mal einen Chat des Boards gegeben, aber das ist längst Geschichte)
IRC = Internet Relay Chat

01.04.2016, 20:56

Aths

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Gut, vielen Dank auch für die Information mit dem Chat.

01.04.2016, 22:29

mYthos

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Deine (Zwischen-) Ergebnisse oder weitere Fragen kannst du natürlich weiterhin hier posten Augenzwinkern

02.04.2016, 05:35

Aths

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Danke. f'(x)=1/2e^2x=1

Das habe ich bisher, die Frage ist, wie ich mit den ^2x umgehe.

02.04.2016, 06:51

Dopap

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Zitat:

Original von Aths
Danke. f'(x)=1/2e^2x=1

sollte das nicht ein Minus sein?

Zitat:

Das habe ich bisher, die Frage ist, wie ich mit den ^2x umgehe.

Wieder so ein nichtmathematisches Wort. Die Variable x sollte doch in der Funktionsvorschrift auftauchen wenn es nicht eine konstante Funktion ist.

Brauchen wir scheibchenweise wieder gefühlte 5 Posts bis die Ableitung geklärt ist?

02.04.2016, 09:45

Aths

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In der ursprünglichen Funktion ist es ja $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ , dann leite ich die Funktion ab also wird daraus $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und dann mache ich es auf die andere Seite, dann wird daraus $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , so dachte ich es.

Wie muss ich dann mit dem Exponent umgehen?

02.04.2016, 11:54

Dopap

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Es gibt keine 2 Seiten in einer Funktionsvorschrift . Das Gleichheitszeichen ist die Zuordnung. Obwohl mir := besser gefällt

die Funktion in R war:

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac 14 e^{-2x} -x +1 \end{eqnarray*}$ da kannst du doch auch nicht einfach -x "auf die andere Seite" bringen

$\begin{eqnarray*} f(x):=\frac 14 e^{-2x} +1 = x \end{eqnarray*}$ verwirrt

woher sollte das "=" herkommen?

Du hast von den elementaren Dingen einfach keine Ahnung. Du bist zwar ein freundlicher Mensch, aber das kann ich dir nicht ersparen. Ohne Altersangabe und Klassenstufe sitze ich sozusagen auf dem Trockenen. Eine qualifizierte Nachhilfe scheint mir unumgänglich. Und die können wir nicht wirklich ersetzen.

p.s. Ich kenn' mich da aus, mit meinen 10 Jahren Nachhilfeerfahrung Augenzwinkern

02.04.2016, 12:23

Aths

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Sorry, das hatte ich verwechselt. Dann ist es also $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .Jetzt würde ich gerne wissen, wie ich bei der Ableitung mit dem Exponent in $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ umgehe.

02.04.2016, 22:31

hey

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Was viele Schüler falsch machen (erlebe ich leider auch in meiner Klasse): Viele denken einfach nicht nach bevor sie die Lösung hinschreiben können. Das was sich viele Wünschen ist, sich die Aufgabe durchzulesen und sobald man etwas liest und nicht gleich versteht gleich um Hilfe schreien.

Mein Mathe Lehrer sagt immer, es bringt nichts alles mögliche auszuprobieren. Man soll systematisch denken.

Also Aths: Ein guter Tipp von mir: Wenn du schon merkst, dass du nicht verstehst was du machen musst. Dann lies doch erst mal die Aufgabe gründlich durch und markiere dir z.b Wörter wie "Wendetangente"; "Schnittpunkte"; "Senkrechte"; "Extrempunkte"; "Krümmungsverhalten"

Und zu jeder Markierung machst du dir Ansätze, z.B:

Wendetangente: es geht hier wohl um die 2.Ableitung = 0 setzen, dann überlegst du dir was du nun für Stellen ausgerechnet hast und überlegst weiter.

Nun zur zweiten Aufgabe:

Da geht es um Extrempunkte, also benötigst du die 1.Ableitung. Wenn du nicht weißt wie man e-Funktionen ableitet dann schau doch in deine Formelsammlung nach, die hast du ganz bestimmt. Oder schau in Buch nach, denn es gibt sicher auch Beispiele dazu.

Ich gebe dir mal die Lösung der Ableitung: f'(x)= 0,5e^2x -1

Nun mach dir mal Gedanken wie man zu dieser Ableitung kommt anhand der Erklärung von mYthos

02.04.2016, 22:55

Aths

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Danke für die Antwort. Ich würde sagen, man leitet einfach normal ab und multipliziert dann $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit der Zahl vor $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ .

02.04.2016, 23:14

hey

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Genau so ist das.

Jetzt noch ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2e^{2x-1}+2x²+3 \end{eqnarray*}$

Bilde die 1.Ableitung und die 2.Ableitung

03.04.2016, 00:24

Dopap

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und wenn es geht, ziemlich allgemein:

$\begin{eqnarray*} f(x) := ae^{kx+b}+ cx^5 +d\qquad \text {a;k;b;d sind konstant} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) := ake^{kx+b} + \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) := \cdots \end{eqnarray*}$

03.04.2016, 07:10

Aths

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Danke für die Antwort.

f'(x)=4e^2x-1+4x
f''(x)= 8e^2x-1+4

03.04.2016, 10:07

hey

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Nun kannst du ableiten.

Wenn du nun weißt wofür du die Ableitungen brauchst, kannst du alle Aufgaben solcher Art lösen die du machen musstest ohne jegliche Hilfe.

03.04.2016, 10:13

Aths

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Vielen Dank. Ginge das auch so, wenn ich eine Expotentialfunktion hätte, die keine e-Funktion wäre?

03.04.2016, 10:40

hey

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Habe bisher keine einzige Aufgabe gehabt bei der Exponentialfunktionen dran kamen die keine e-Funktionen waren. Und habe hier Abi Aufgaben vor mir liegen, da kamen solche Funktionen auch nicht dran.

Die Ableitungsregel solcher Funktionen wäre: $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x, f'(x)=a^x*lna \end{eqnarray*}$ laut meiner Formelsamlung

03.04.2016, 11:05

Aths

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Gut, vielen Dank für die ausführlichen Antworten.

03.04.2016, 11:59

mYthos

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Nun, so weisst du endlich, wie die 1. Ableitung "geboren" wird*.
Wie lautet diese bei deiner Funktion und wie sieht's mit der (den) Extremstelle(n) aus?
In welchem Quadranten liegen sie? Krümmungsverhalten und Zeichnung?

[Gestern war ich auswärts auf einer Geburtstagsfeier, daher den ganzen Tag nicht online, danke den anderen für die Übernahme]

(*)
Übrigens kann ich @hey nicht ganz zustimmen.
Im Schulunterricht kommen Wachstums-/Abnahmefunktionen auch mit anderen Basen als $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ zur Diskussion.
Die e-Funktion wird oft umgangen, indem z.B. anstatt $\begin{eqnarray*} e^{-0.125x} \approx 0.8825^x \end{eqnarray*}$ geschrieben wird.
Die Ableitung kann entweder sofort (nach der Formel) oder mittels Umschreiben der Potenz in eine e-Potenz geschehen, was letztendlich auf das Gleiche hinausläuft.

$\begin{eqnarray*} a^x = ({e^{\ln a}})^x = e^{x \ln a} \end{eqnarray*}$

Und dabei "sieht" man auch schon die Formel für die Ableitung, die eigentlich nicht explizit gebraucht wird.

mY+

03.04.2016, 12:53

Aths

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Danke für die Antwort.
Die Ableitung ist damit f'(x)=0,5e^2x-1

Wie kann ich beim Nullsetzen mit der Basis e umgehen?

03.04.2016, 12:55

Dopap

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Anmerkung: Es gibt viele exponentielle Aufgaben bei denen eine andere Basis praktisch vorgegeben ist:

Zinseszins , degressive Abschreibung , der radioaktive Zerfall mit der berühmten Halbwertszeit , die Bakterienvermehrung mit der Verdoppelungszeit, die Verdünnung von Wirkstoffen z.B. bei den homöopathischen Arzneimitteln ...

03.04.2016, 13:11

mYthos

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@Dopap
Zinseszins und degressive Abschreibung ja, die anderen Funktionen basieren allerdings eher auf der Basis $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , denn diese sind schließlich Lösungen der auf Grund der Wachstums- bzw. Zerfallvorgänge resultierenden Differentialgleichungen.

EDIT:
Und richtig, ja, bei der Berechnung der Halbwertszeit ist eine Exponentialgleichung mit der Basis 2 zu lösen ...

@Aths
"Umgehen" ist so ein Wort bei dir, wenn du damit umschreiben willst, dass du den ganzen Vorgang nicht verstehst.
Du solltest einfach sagen, dass du derzeit nicht im Stande bist, die entsprechende Exponentialgleichung zu lösen und vor allem auch Ansätze oder Ideen einbringen.
Also du willst die 1. Ableitung Null setzen, wenn ich das richtig verstanden habe. Das stimmt auch.
Schreibe also einmal die Gleichung auf und dazu die Ideen, wie man diese lösen könnte.
Und wenn es dir möglich ist, verwende doch auch den Formeleditor (LaTeX)

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \cdot e^{2x} - 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Wir sollten endlich auch einmal von deinen zeilenweisen Fragen abgehen und das Ganze etwas mathematischer angehen.
Übrigens wäre es auch gut zu wissen, in welcher Schulstufe du bist und wie dein derzeitiger Kenntnisstand ist, um die Hilfe besser anpassen zu können.

mY+

03.04.2016, 14:17

hey

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Normalerweise wird in der Schule ein GTR eingeführt. Zumindest in Baden-Württemberg ist das so. Allgemeinbildende Gymnasien verwenden den meistens schon ab der 7, 8 Klasse und Berufliche Gymnasien haben den auch schon ab der 11 Klasse. Allerdings haben alle Schüler die 2014 in die 7, 8 Klasse kamen und Schüler die 2014 auf berufliche Gymnasien kamen keine grafische Funktion mehr, sonst ist alles gleich. Dann gibt es Schulen die gerade an den CAS experimentieren.

So von den Aufgaben her sind das Aufgaben der 11 Klasse des allgemeinbildenden Gymnasium und 12. Klasse des beruflichen Gymnasiums Baden-Württemberg.

Nullstellen kann man somit auch mit dem Taschenrechner bestimmen. Man muss es nicht mehr von Hand können.

Dafür hat man im Abi keine Zeit um alles von Hand zu lösen. Denke dem Schüler ist mehr geholfen wenn man ihm die Grundlagen erklärt, statt Zeit zu verbringen mit Dingen die man nicht können muss, sondern nur wissen muss was man gerade macht.

Nur wenn in Aufgabenstellung explizit steht man soll ein exaktes Ergebnis haben, ist es verboten den Taschenrechner dafür zu verwenden.

03.04.2016, 14:33

Aths

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Ich besuche die zwölfte Klasse, also die Jahrgangsstufe I eines beruflichen Gymnasiums in Baden-Württemberg. Den Ansatz, den mYthos geschrieben hatte meinte ich. Muss man nun eventuell den logarithmus naturalis anwenden?

03.04.2016, 14:42

mYthos

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@Aths
Ja! Mache es doch einmal, traue dich doch, wenigstens den Ansatz hinzuschreiben, niemand wird dich beissen! Big Laugh

Ist es in deinem Gymnasium möglich bzw. gestattet, Technologie (GTR, GeoGebra, Excel, Derive, etc.) zu verwenden?

Im Übrigen @hey:
Es wäre ja nichts dagegen zu sagen, wenn der Fragesteller die Gleichung mittels Technologieeinsatz löst, da rennst du bei mir offene Türen ein!
Aber er tut ja derzeit gar nichts, ausser einzeilige Vorschläge zu machen, weil er eben unsicher ist, was die Aufgabe "eigentlich von ihm will", (wie es einer meiner Schüler mal so ausgedrückt hat, ganz witzig)

03.04.2016, 15:01

hey

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Vermute mal, dass er den GTR nicht hat wenn der auch unter dem Schulversuch steht den "normalen" Taschenrechner zu verwenden.

Aths, wenn kein GTR hast dann musst du dennoch nicht die Nullstelle von Hand rechnen. Dein Taschenrechner müsste die Funktion Solver haben. Dort gibst du deine Funktion ein und der errechnet dir die Nullstellen.

Kein Gymnasium verlangt schriftliche Lösungen wenn nicht steht exakt berechnen. Mein Mathe Lehrer sagt, man soll keine Zeit verschwenden wo man keine Zeit einsetzen muss. In der Prüfung hat man keine Zeit Nullstellen von Hand zu berechnen. Man hat 4 Aufgaben und 270 Minuten Zeit (Zumindest das WG). Man hat somit 2 Stunden Zeit für Analysis. 45 Minuten Zeit für Stochastik, 45 Minuten für Anwendungsorientierte Aufgaben, 45 Minuten für wirtschaftliche Anwendung (auf dem WG).

Aths, wenn du nicht ganz so fit bist in Mathe, dann verwende wann immer du kannst den Taschenrechner, statt dich zu quälen.

mYthos, klar sehe ich, dass der Fragesteller nicht genau weiß was er zu tun hat. Aus diesem Grund hab ich ihm gestern auch den Tipp gegeben, alle wichtigen Begriffe zu markieren und die Ansätze zu schreiben. Was der Fragesteller hier aber macht ist sich schon teilweise von der eigentlichen Aufgabe zu entfernen. Er überlegt Dinge die so nicht gefragt sind. Die Realschulzeit ist längst vorbei. Dort musste man alles von Hand rechnen. Diese waren aber nur Grundlagen um zu verstehen was man später auf dem Gymnasium.

03.04.2016, 15:34

mYthos

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Zitat:

Original von hey
...
Aths, wenn du nicht ganz so fit bist in Mathe, dann verwende wann immer du kannst den Taschenrechner, statt dich zu quälen.
...

@hey
Deinen Argumenten kann ich so nicht in allen Teilen folgen.
Der GTR bzw. ein CAS soll als Hilfsmittel zur manuellen Berechnung dienen, sonst zu gar nichts, er ist daher kein Universalmittel.
Zuerst muss das Verständnis für die Materie vorhanden sein. Ansonsten ist man - mal hart gesprochen - dazu verleitet, die Anfangsbedingungen irgendwie einzutippen und ohne Verständnis darauf hofffen, dass dann schon die richtigen Lösungen herauskommen.
Klarerweise muss man, bevor das CAS bemüht wird, genau wissen, was man dabei tut.

Ich bitte dich jetzt aber darum, hier diese Diskussion nicht mehr fortzuführen (wenn du willst, eröffne gegebenenfalls an anderer Stelle ein entsprechendes Thema), schließlich geht es jetzt um das Abschließen der gestellten Aufgabe.
Dies ist ja jetzt ohnehin schon zu einem Monsterthread geworden.

mY+

03.04.2016, 15:34

Aths

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Danke für die Antworten. Man darf ein CAS bei uns verwenden, allerdings nicht im Abitur. Wenn ich es ausrechne habe ich 9,32-1=0

Jetzt bin ich mir allerdings unsicher, wie ich nach x auflöse.

03.04.2016, 17:06

mYthos

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Da würde ich schon gerne wissen, wie du auf diese - falsche - Aussage 9,32 - 1 = 0 kommst, immerhin ist 9,32 - 1 = 8,32 oder siehst du das anders?
Was hast du da ausgerechnet? Du sollst ja einen Wert für x herausfinden, bei dem dann die Gleichung "stimmt", also in eine richtige Aussage übergeht.

Also für $\begin{eqnarray*} \frac{e^{2x}} 2 - 1 = 0 \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu finden, damit die linke Seite zu Null wird. Forme dazu etwas um:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} = 2 \end{eqnarray*}$

Und du hast bereits auch schon den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ erwähnt, dieser hilft hier weiter. Indeed Big Laugh

------------------

Später kann das CAS den Vorteil bieten, die an sich abstrakten Angaben in ein anschauliches Bild zu verwandeln. Ich werde dir später ein Bild zeigen, wo dies mit GeoGebra gemacht wurde.
Geogebra ist ein in vielen Schulen zugelassenes Technologie-Hilfsmittel. Es eignet sich neben Geometrie auch sehr gut für Algebra und Analysis, weil es einen CAS-Mode besitzt.

mY+

03.04.2016, 18:09

Aths

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Dankeschön, ja GeoGebra nutzen wir auch. Ich habe den logarithmus naturalis von $\begin{eqnarray*} 0,5e^{2x} \end{eqnarray*}$ gerechnet.(wie kann ich bei dem Formeleditor einstellen, dass ich nach dem ^2 noch das x in dem Exponent weiterschreiben kann?)

Edit (mY+): Ja, du musst den ganzen Exponenten in diese Klammern { .. } schreiben, also e^{2x}

Und als logarithmus naturalis kommt 9,32 raus.

$\begin{eqnarray*} e^{2x}=2 \end{eqnarray*}$

Damit wäre, wenn man den logarithmus naturalis anwendet, $\begin{eqnarray*} 10=2 \end{eqnarray*}$ , da der logarithmus naturalis von $\begin{eqnarray*} e^{2x}=10 \end{eqnarray*}$ ist.

Edit (mY+): Ich habe jetzt mal LaTeX berichtigt. Es genügt auch, latex bzw. \latex (in eckiger Klammer) in einer Gleichung nur ein Mal am Anfang und Ende zu setzen.

03.04.2016, 18:41

mYthos

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Erstens, woher kommen 9,32 (das ist nach wie vor nicht erklärbar) und zweitens, woher die 10 ??
Und die Aussage 10 = 2 ist doch auch nicht richtig.
Also 10 hat da überhaupt nichts verloren, denn es ist allenfalls die Basis des dekadischen Logarithmus.

Kann es vielleicht sein, du hast nicht mit dem $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ , sondern dem dekadischen Logarithmus (Basis = 10) logarithmiert?

Dann hättest du allerdings schreiben müssen

$\begin{eqnarray*} 2x \cdot \lg e = \lg 2 \end{eqnarray*}$

----------------------------

Wenn aber ohnehin schon eine e-Potenz da steht, liegt es doch nahe, den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ zu verwenden!

Gehen wir nochmals von der Anfangsgleichung aus:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} = 2 \end{eqnarray*}$

Nun logarithmiere beide Seiten der Gleichung, aber verwende dabei den $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ (!)

mY+

Hinweis:
Zur leichteren Benutzung des Formeleditors:
Markiere den ganzen Ausdruck, den du in LateX setzen willst und click dann den f(x) - Button, damit sollten die Tags am Anfang und Ende automatisch gesetzt werden.

03.04.2016, 19:21

Aths

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Danke für die Antwort. Ich hatte den logarithmus naturalis nur auf der linken Seite angewendet und nicht auf der rechten Seite.

10=0,69

10 ist bei mir der logarithmus naturalis von $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ und 0,69 der logarithmus naturalis von $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ .

03.04.2016, 19:27

hey

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Richtige Antworten sind nun dabei:

Die Gleichung lautet $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{2x}=2 \end{eqnarray*}$

Nun hast du dein ln eingesetzt und müsstest erhalten: $\begin{eqnarray*} 2x=ln(2) \end{eqnarray*}$ => 0,69

Nun musst du aber noch durch 2 teilen

Was ist nun dein Ergebnis?

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