Auf Unterraum prüfen

24.03.2016, 17:06	Loki96	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf Unterraum prüfen Meine Frage: $\begin{eqnarray} W = \left\{ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3} \right) ^{T} : 3x_{1}+\frac{1}{4} x_{2}=0 \right\} \end{eqnarray}$ Ist W ein Unterraum? Geben Sie Basis und Dimension von W an. Geben Sie bei den Beispielen im R3 eine geometrische Interpretation von W an. Ich verstehe lineare Algebra nicht und Skriptum hilft mir nicht.. es gibt keine Beispiele. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} 3(x_{1} + y_{1} ) + \frac{1}{4} (x_{2} + y_{2} ) = ... = (3x_{1} + \frac{1}{4} x_{2} ) +( 3y_{1}+\frac{1}{4}y_{2} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3(sx_{1})+\frac{1}{4}(sx_{2} ) = s(3x_{1}+\frac{1}{4}x_{2} ) \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Was dann..? Danke
24.03.2016, 18:38	DaDiDumDiDaDum	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke du meinst einen Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Ein Unterraum ist nichts weiter als eine Teilmenge eines anderen Vektorraumes (wobei der Unterraum wieder ein Vektorraum ist). In deinem Fall hast du ja eine Formel für die 1. und 2. Koordinate gegeben. Also $\begin{eqnarray} x_1=-\frac{1}{12}x_2 \end{eqnarray}$ . Es liegen also alle Vektoren der Form $\begin{eqnarray} x=(\frac{1}{12}x_2,x_2, x_3)^T \end{eqnarray}$ in deinem Unterraum. Du musst jetzt nachprüfen, ob für alle solche Vektoren $\begin{eqnarray} y=\alpha x+z \end{eqnarray}$ in W liegen, also von obiger Form sind.
24.03.2016, 19:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Schule haben wir gelernt, dass ax+by=0 eine Gerade im R² ist, z ist frei, also haben wir hier eine Ebene im R³ durch den Nullpunkt. Das fühlt sich enorm an wie ein Untervektorraum, also sollte der Beweis möglich sein. Übrigens kann man Mathematik nicht nur anhand von Beispielen lernen, wenn Du welche brauchst, hast Du hier eines, über das Du nachdenken kannst - genau dafür sind Übungsaufgaben da.
24.03.2016, 23:55	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auf Unterraum prüfen Für denn Nachweis, dass $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ ein Unterraum vom $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ist, kannst du die 'Untervektorraumkriterien' nachweisen: Zeige dazu folgende drei Punkte: $\begin{eqnarray} 1)\ W \neq \emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2)\ u,v\in W \Rightarrow u+v\in W \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3)\ u\in W, \alpha \in \mathbb{R} \Rightarrow \alpha u \in W \end{eqnarray}$ Die Punkte 2 und 3 hast du ja bereits richtig angefangen. Du musst es aber noch korrekt zu Ende bringen, indem du explizit aufschreibst, wieso die Bedingung der Menge nun für Summe und Multiplikation mit einem Skalar erfüllt wird. Du musst also für zB 3 zeigen, dass $\begin{eqnarray} 3(\alpha u_1) + \frac{1}{4}(\alpha u_2) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Du bist schon fast fertig, nur die Schlussfolgerung fehlt noch. Für 1 musst du zeigen, dass W nicht leer ist. Das geht wohl am einfachsten, indem du zeigst, dass $\begin{eqnarray} 0\in W \end{eqnarray}$ . Hinweise zur geometrischen Darstellung und zur Basis findest du bei den beiden vorigen Antworten. Vielleicht (wirklich nur vielleicht, lass dich aber nicht verwirren) hilft es dir zu wissen, dass W der Kern der Matrix M ist, mit $\begin{eqnarray} M := \begin{pmatrix}3&\frac{1}{4}&0\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{1\times 3} \end{eqnarray}$

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