Definitionsbereich und Stetige Fortsetzung

24.03.2016, 19:54

Minus1

Definitionsbereich und Stetige Fortsetzung

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe diese Aufgabe(siehe Bild).

Meine Ideen:
Also ich habe für den Df := R\ {x=0 , pi* k} k, element Z ist das richtig ? Die Stetige fortsetzung habe ich mit der Regel von Bernoili versucht kommt aber nicht drauf :/

24.03.2016, 20:36

WebFritzi

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Dein maximaler Definitionsbereich ist nicht korrekt. Offenbar hast du nur den Sinus behandelt. Leider steht da noch der Tangens in einem Nenner (soweit ich das auf dem Bild erkennen kann).

24.03.2016, 22:09

Minus1

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Für tangens habe ich das auch beachtet tangens darf nicht 0 sein. Man kann es aber auch so sehen da sin/tan=cos
Ist darf cos(x) nicht gleich 1 sein da sonst oder verstehe ich da was falsch

24.03.2016, 22:38

WebFritzi

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Nein, nein, du verstehst alles richtig. Ich war hier der Depp. Natürlich ist der Tangens Null bei allen Vielfachen von pi. Daher ist dein Defbereich richtig.

So, und jetzt ist sin/tan = cos, richtig. Das kannst du nun verwenden um zu schauen, in welchen Punkten die Funktion stetig fortsetzbar ist. Tipp: Es sind die Punkte $\begin{eqnarray*} 2k\pi \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Der Fall k = 0 ist gesondert zu behandeln.

25.03.2016, 07:03

Minus1

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Vielen dank habs geschafft die stetige fortsetzung an der stelle x0=0 ist -1/2

25.03.2016, 07:57

10001000Nick1

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Zitat:

Original von WebFritzi
Nein, nein, du verstehst alles richtig. Ich war hier der Depp. Natürlich ist der Tangens Null bei allen Vielfachen von pi. Daher ist dein Defbereich richtig.

Und was ist mit den Punkten, an denen der Tangens überhaupt nicht definiert ist? Die muss man auch aus dem Definitionsbereich ausschließen. Daher: $\begin{eqnarray*} D_f=\mathbb R\setminus\{\frac{k\pi}{2} \mid k\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

25.03.2016, 08:01

Minus1

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Das verstehe ich aber nicht tangens darf doch einfach nicht 0 sein und es wird null wenn x= 0 ist und wenn x= pi * k ,k element Z ist verwirrt

25.03.2016, 08:05

10001000Nick1

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Wie willst du denn den Term $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\sin(x)}{\tan(x)}-1}{x\cdot \sin(x)} \end{eqnarray*}$ berechnen, wenn $\begin{eqnarray*} \tan(x) \end{eqnarray*}$ überhaupt nicht definiert ist? Z.B. für $\begin{eqnarray*} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2016, 09:13

Minus1

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Ah ok vielen dank ich weiß jetzt was du meinst smile

25.03.2016, 09:35

Minus1

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aber der Df bereich gilt auch für den nenner oder ? ich bin etwas verwirrt

also Df = R\ { k*pi +pi/2} steht in Wikipedia für Tangens. wie folgern wir dann daraus das der gesamte Definitionsbereich das ist Df={ R\K*pi/2} ? weil im nenner wäre sin(3*pi/2) =-1 laut mein Taschenrechner also ist es an der stelle Definiert verwirrt

25.03.2016, 15:12

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Minus1
aber der Df bereich gilt auch für den nenner oder ?

Was meinst du damit? verwirrt

Zitat:

Original von Minus1
weil im nenner wäre sin(3*pi/2) =-1 laut mein Taschenrechner also ist es an der stelle Definiert verwirrt

Aber an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=\frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \tan(x) \end{eqnarray*}$ nicht definiert.

Zitat:

Original von Minus1
wie folgern wir dann daraus das der gesamte Definitionsbereich das ist Df={ R\K*pi/2} ? weil im nenner wäre sin(3*pi/2) =-1

Der Tangens ist an den Stellen $\begin{eqnarray*} \{..., -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...\} \end{eqnarray*}$ nicht definiert.
Außerdem steht der Tangens im Nenner, darf also nicht 0 werden. Das passiert an den Stellen $\begin{eqnarray*} \{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\} \end{eqnarray*}$ .

Dann müssen auch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(x) \end{eqnarray*}$ ungleich 0 sein. Deswegen muss man die Stellen $\begin{eqnarray*} \{..., -2\pi, -\pi, 0, \pi, 2\pi, ...\} \end{eqnarray*}$ aus dem Definitionsbereich ausschließen.

Insgesamt bedeutet das also, dass man die Stellen $\begin{eqnarray*} \{..., -2\pi, -\frac{3\pi}{2}, -\pi, -\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, ...\} \end{eqnarray*}$ ausschließen muss.
Oder kürzer: $\begin{eqnarray*} \{\frac{k\pi}{2} \mid k\in\mathbb Z\} \end{eqnarray*}$ .

25.03.2016, 16:07

Minus1

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Also besser als du könnte es mir keiner erklären vielen dAnk Freude

26.03.2016, 04:00

WebFritzi

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Ja, sorry. Also war ich beim zweiten mal der Depp, als ich dachte, ich wäre es beim ersten mal gewesen. ;-)

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