extremstellen bestimmen

Neue Frage »

26.08.2004, 13:42	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
extremstellen bestimmen ich hab die funktion: $\begin{eqnarray} 4x^4-8x^2+4 \end{eqnarray}$ , und soll die extremstellen bestimmen. muss ich dafür erst die nullstellen bestimmen? wenn, dann muss ich ja auch die polynomdivision anwenden. nur woher weiß ich, durch was ich die term dann teilen muss? Edit: Funktion in LateX verbessert. Ben
26.08.2004, 13:58	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sandra, die Extremstellen sind die Stellen, an denen die Funktion den kleinsten bzw. größten Wert annimmt, also ein Maximum oder ein Minimum. Am einfachsten ist es, die erste und zweite Ableitung auszurechnen. Dann musst Du die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen. Um zu bestimmen, ob es sich wirklich um ein Minimum oder Maximum handelt, musst Du diese dann in die zweite Ableitung einsetzen. Wenn diese kleiner ist als 0, handelt es sich bei der Stelle um ein Maximum, wenn sie größer ist als 0 um ein Minimum. Wenn sie gleich 0 ist, dann ist es doch kein Extremwert. Gruß MisterSeaman
26.08.2004, 14:01	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
das weiß ich ja alles. also kann ich jetzt gleich die extremstellen ausrechnen. ok, aber ich komm da nicht weiter. also f´(x)=16x(hoch 3)-16x=0... jetzt muss ich ja polynomdivison anwenden. ich weiß aber nicht, durch was ich den term teilen soll. woher krieg ich die zahl?
26.08.2004, 14:02	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen: Für die Extremstellen brauchst Du die erste und die zweite Ableitung der Funktion. Von der ersten Ableitung errechnest Du die Nullstellen. Jene Werte setzt Du in die zweite Ableitung ein. wenn ein wert > 0 herauskommt handelt es sich bei besagtem x um Tiefpunkt, kommt ein Wert < 0 raus ist es ein Hochpunkt. Polynomdivision: Bei der ersten Ableitung wirst Du ein Polynom dritten grades bekommen. Bei der ersten Ableitung fällt die erste Nullstelle sofort auf. Nennen wir diese Nullstelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ . Bei der Polynom division wird dann immer mit $\begin{eqnarray} (x - x_0) \end{eqnarray}$ dividiert. Allerdings brauchst Du nichtmal bei dieser Funktion die Polynomdivision expliziet ausführen.
26.08.2004, 14:06	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
doch, ich habs aber so gelernt: ab x(hoch3) polynomdivision. aber ich verstehs immer noch nicht. ich weiß wie man alles ausrechnet mit Hp, Tp etc. ich will nur wissen, wie krieg ich die zahl für die polynomdivision. ich würd ja rechnen: (16x(hoch3)-16x) x+/-..??) ja was? nochmal, ich würd rechnen (16x(hoch 3)-16x) : (x+-..?) keine Doppelposts, melde Dich doch einfach an (Mazze)
26.08.2004, 14:08	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, Polynomdivision muss hier nicht sein. $\begin{eqnarray} 16x^ 3-16x=x(16x^2-16) \end{eqnarray}$ Jetzt kann man die Nullstellen relativ leicht erkennen...
Anzeige

26.08.2004, 14:10	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du würdest teilen (x - NULLSTELLE) Du berechnest also eine Nullstelle und teilst das Polynom dadurch. von 16x³ - 16x = 0 wäre x = 0 die erste Nullstelle. Du teilst also durch (x - 0) = x.
26.08.2004, 14:10	steffi7	Auf diesen Beitrag antworten »
na gut. und wann muss ich immer die polynomdivision anwenden? und wenn ich, wie jetzt, die extremstellen berechnen will, muss ich dann vorher immer zuerst die nullstellen berechnen?
26.08.2004, 14:18	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel: Die erste Ableitung wäre $\begin{eqnarray} f'(x) = x^3 + x+ x^2 +1 \end{eqnarray}$ Die Gleichungfür die Nullstellung ist 3. Grades, also ziemlich schwer zu lösen. Eine Nullstelle kann man raten: $\begin{eqnarray} x_0=-1 \end{eqnarray}$ Damit ergibt sich durch Polynomdivision $\begin{eqnarray} f'(x) = (x^2+1)(x+1) \end{eqnarray}$ Jetzt sieht man sofort: f'(x) hat keine Nullstellen außer $\begin{eqnarray} x_0=-1 \end{eqnarray}$ . Polynomdivision macht man, um die Gleichung leichter lösen zu können. Gruß MisterSeaman
26.08.2004, 14:18	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn Du extremstellen berechnen willst musst Du immer die Nullstellen der Ableitung berechnen. ich werd Dir mal ein Polynomdivisionsbeispiel geben. $\begin{eqnarray} 3x^3 - 2x^2 + x - 18 = 0 \end{eqnarray}$ Durch probieren erhalte ich die erste Nullstelle $\begin{eqnarray} x_0 = 2 \end{eqnarray}$ Ich teile das Polynom jetzt also durch (x - 2) $\begin{eqnarray} 3x^3 - 2x^2 + x -16 : (x - 2) = 3x^2 +4x + 9 \end{eqnarray}$ Die Gleichung zweiten Grades ergibt dann höchstens noch zwei weitere Lösungen (Umstellen p-q Formel). Allerdings wird dieses Polynom nur eine (reelle) Nullstelle haben.
26.08.2004, 14:23	steffi7	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich jetzt ohne polynomdivision rechne, hab ichs so: extremstellen: notw.Kr.:f´(xe)=0 f´(x)=16x(hoch3)-16x=0 =x(16x²-16)=0 x1=0 16x²-16=0/+16 16x²=16/:16 x²=1/wurzel x=1.... x2=1; x3=-1 hinr.Kr.: f´(xe)=0 oder f´´(xe) ungleich 0. f´´(1)=32 f´´(-1)32.. richtig so, bis da?
26.08.2004, 14:28	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
jo... aber das hinreichende Kriterium sagt UND, nicht oder.
26.08.2004, 14:29	steffi7	Auf diesen Beitrag antworten »
aber es kommt beidesmal 32 raus, d.h. ich hab keinen hp. und nun?
26.08.2004, 14:33	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
So, geschafft...
26.08.2004, 14:34	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
was soll mir das jetzt sagen? sattelpunkte? in der frage lautet es, obs tiefpunkte, hochpunkte, sattelpunkte gibt? lautet die antwortet sattelpunkte, oder was? Wie ich bereits sagte keine Doppelposts. Melde Dich an dann kannst Du die edit Funktion benutzen (Mazze)
26.08.2004, 14:46	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast also für -1 und 1 32 raus. Das heißt das es sich bei diesen Punkten nur um Tiefpunkte handeln kann. Jetzt musst Du -1/1 nur noch in die Ausgangsfunktion (4x^4 -8x² +4) einsetzen. Dann erhällst Du die y koordinate der Punkte und bist fertig. Vergiss aber nicht, du musst auch noch x = 0 überprüfen!
26.08.2004, 14:47	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ergebnis ist schon fast korrekt. Die beiden Minima stimmen. Ich hab mir auch den Graphen der Funktion schon in Excel angeguckt, und mittlerweile auch geplottet... Es gibt insgesamt drei Extremstellen Bitte auch noch x=0 überprüfen, wie Mazze schon sagt... Und dann noch in f(x) einsetzen, um den Funktionswert zu erhalten... Den Plot der Funktion findest Du auf Seite 1, dort kann man die Extremstellen einwandfrei erkennen. Gruß MisterSeaman
26.08.2004, 15:13	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
wieso muss ich denn 1/-1 in die ausgangsform einsetzen? ist ja klar, dass da beidesmal 0 rauskommt. meine extremstellen müssten dann ja 0, 1 und -1 sein.
26.08.2004, 15:16	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist das denn klar? -1, 1 und 0 sind erstmal nur die Nullstellen von f'(x), aber die Minima sind nicht unbedingt auch Nullstellen von f(x). (Nur diesmal zufälligerweise).
26.08.2004, 15:19	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
naja bei 1 und -1, da kommt halt 0 raus ja aber ich habs doch gerad hier vorgerechnet, die extremstellen. und die waren da ja 0,1,-1. ist die aufgabe jetzt gelöst?
26.08.2004, 15:21	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Aufgabe wirklich so gestellt war, wie Du sie im ersten Beitrag angegeben hast, bist du jetzt fertig, weil ja nur nach den Extremstellen gefragt war, und die hast Du jetzt gefunden. Hatte wieder mal nicht aufgepaßt. Gruß MisterSeaman
26.08.2004, 15:23	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
hm, meinst du die -1 und 1 einsetzen, in die funktion? also ich mach das eigentlich nie. verwirrt mich jetzt auch. ich rechne von den extremstellen das notw. und hinr. kriterium aus, und die aufgabe ist fertig.
26.08.2004, 15:25	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
hab mir die zeichnung auf seite 1 angesehen. 4 ist eine extremstelle? wie kommt ihr darauf?
26.08.2004, 15:28	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
gut. ich war jetzt schon total verwirrt. also extremstellen 0,1,-1. gut, vielen dank.
26.08.2004, 15:28	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
4 ist ja nicht die Extremstelle, sondern der Funktionswert an der Extremstelle. Die Extremstelle ist der Wert auf der x-Achse, also 0.
26.08.2004, 15:29	sandra7	Auf diesen Beitrag antworten »
achso. mit graphen hab ichs nicht so.
26.08.2004, 15:30	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Verwirren war nicht meine Absicht, sorry. Freut mich jedenfalls, wenn wir Dir helfen konnten. Gruß MisterSeaman
16.07.2007, 15:21	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
edit: eben war doch ne frage
16.07.2007, 15:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe daraus einen eigenen Thread gemacht. extremstellen bestimmen

Neue Frage »

Antworten »

extremstellen bestimmen

Verwandte Themen