Konvergente Majorante

25.03.2016, 15:15

Klaro321

Konvergente Majorante

Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe.
Meine Idee wäre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } bk = \sum\limits_{k=0}^{\infty } | Max ({ a_{k} ,a_{k-1}}) | \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty } ak \end{eqnarray*}$

Und da die Reihe ak absolut konvergiert ist die Reihe eine Konvergente Majorante zur gegebenen Reihe Bj somit konvergiert auch diese Reihe

Stimmt das ? verwirrt

25.03.2016, 15:25

ArkhamKnight

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Warum sollte denn $\begin{eqnarray*} \text{max}(a_k,a_{k-1})\leq a_k \end{eqnarray*}$ sein?

25.03.2016, 16:12

Klaro321

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Eigentlich müsste da ein = stehen aber dann wäre die Def. Von der Majorante nicht gegeben verwirrt

ich dachte wegen der an-1 kann ich das so abschätzen

25.03.2016, 16:43

ArkhamKnight

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Das Maximum zweier Zahlen ist aber immer größer gleich den beiden Zahlen, d.h. deine Abschätzung funktioniert so nicht.

25.03.2016, 16:57

Klaro321

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So ist aber diese Maximum nicht gemeint sondern so:

Das Max {4,5} = 5
Das Max{1,2} =2

Und so weiter

Und wenn da steht { an, an-1} ist ja an-1 immer kleiner sodass da eigentlich nur an übrig bleibt verstehe ich das so richtig ?

25.03.2016, 17:14

ArkhamKnight

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Warum sollte denn immer $\begin{eqnarray*} a_{n-1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ gelten? Du weißt doch nichts von der Folge, außer dass sie konvergiert.

25.03.2016, 17:28

Klaro321

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Hmm..

Wie kann ich das denn machen ? Kannst du mir bitte helfen?

25.03.2016, 18:58

ArkhamKnight

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Du kannst $\begin{eqnarray*} |\text{max}(a_n,a_{n-1})|\leq |a_n|+|a_{n-1}| \end{eqnarray*}$ abschätzen.

25.03.2016, 19:24

Klaro321

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Achso die dreiecksungleichung Big Laugh

Wenn ich das mache kann ich doch sagen das

Die Reihe mit |an| absolut konvergiert und da sie absolut konvergiert macht es nichts aus wenn man |an| +|an-1| dazu macht denn es konvergiert immernoch stimmt das ? verwirrt

25.03.2016, 19:46

ArkhamKnight

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Als Dreiecksungleichung würde ich das nicht bezeichnen, schließlich ist diese ja durch $\begin{eqnarray*} |a+b|\leq|a|+|b| \end{eqnarray*}$ gegeben.
Deiner Argumentation kann ich nicht folgen. Drücke dich bitte präzise aus

25.03.2016, 22:33

klaro321

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Warum gilt denn diese Abschätzung ?
Ich meinte eigentlich das so Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } bk = \sum\limits_{k=0}^{\infty } max(a_{n};a_{n-1}) \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty } |an|+|a_{n-1}| \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty } |an| \end{eqnarray*}$

kann ich die letzte Abschätzung so durchführen bin mir nicht ganz sicher aber wenn ja dann würde ich jetzt sagen die Reihe |an| konvegiert Absolut und ist eine Konvergente Majorante zu gegebenen reihe

25.03.2016, 22:49

Mulder

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Zitat:

Original von klaro321
kann ich die letzte Abschätzung so durchführen bin mir nicht ganz sicher

Nein, kannst du auf gar keinen Fall. Schau da nochmal genauer hin, es sollte eigentlich schnell klar werden, dass das nicht geht. Es ist doch wohl unbestreitbar, dass

$\begin{eqnarray*} |a_n| + |a_{n-1}| \geq |a_n| \end{eqnarray*}$

ist.

25.03.2016, 22:56

klaro321

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ach es tut mir leid das war dumm von mir unglücklich

Aber kann ich dann ab $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } bk = \sum\limits_{k=0}^{\infty } max(a_{n};a_{n-1}) \leq \sum\limits_{k=0}^{\infty } |an|+|a_{n-1}| \end{eqnarray*}$ diesem schritt schon begründen das die reihe eine konvergente Majorante zur gegebenen reihe ist ? verwirrt

25.03.2016, 23:06

Mulder

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Zunächst mal soltest du k und n nicht andauernd durcheinander schmeißen. Entscheide dich für einen der beiden Buchstaben.

Und da fehlen schon noch ein paar Begründungen. Wie wärs damit?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (|a_k|+|a_{k-1}|) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k|+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_{k-1}| \end{eqnarray*}$

Rechts noch eine kleine Indexverschiebung und du hast alles, was du brauchst. Bedenke: Wenn $\begin{eqnarray*} \sum a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} \sum 2 a_k \end{eqnarray*}$ . Denn die 2 kann vor die Reihe gezogen werden.

25.03.2016, 23:10

klaro321

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Also ich verstehe das nicht so k ist doch gleich 0 ? warum jetzt 1 ? und warum jetzt wieder indexverschiebung unglücklich

also ich komme mir echt blöd vor Hammer

25.03.2016, 23:15

Mulder

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Wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty}a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum^{\infty}_{k=1}a_k \end{eqnarray*}$ und umgekehrt. Ich habe jetzt bei k=1 begonnen, weil man sonst mit dem $\begin{eqnarray*} a_{k-1} \end{eqnarray*}$ etwas in Bedrängnis gerät. Denn für k=0 wäre das $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ und was genau soll das ergeben? Oben beginnt die Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ erst bei k=0. Das wollte ich gerne umgehen. Das geht wegen dem, was ich im ersten Satz in diesem Post geschrieben habe. Kannst auch bei k=2000 beginnen, für die Konvergenz oder Nichtkonvergenz spielt das keine Rolle, weil endlich viele Reihenglieder darauf keinen Einfluss haben.

Und bei der Indexverschiebung: Ich habe ja dazugeschrieben, worauf es hinauslaufen soll. Zur Not denk halt auch mal ein bisschen drüber nach. Mich persönlich ärgert es immer ein wenig, wenn nach zwei, drei Minuten gleich schon kommt "versteh ich nicht". Verlangt auch keiner, dass du das alles in Sekundenschnelle durchblickst. Beschäftige dich halt ein wenig damit, dafür sind die Übungsaufgaben doch da.

26.03.2016, 09:56

klaro321

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um ehrlich zu sein weiß ich nicht weiter du hast eine indexverschienung gemacht ich kann aber nicht sehen wie du das gemacht hast bei dir kommt ja genau das gleiche raus bei der Indexverschiebung.
Ich soll jetzt noch einmal Indexverschiebung machen aber ich weiß nicht wie ich das machen soll und wozu man sieht doch schon an der stelle das es konvegieren muss verwirrt

26.03.2016, 10:40

Mulder

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Wenn du das meinst, dann lass es eben so. Ich hätte noch

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (|a_k|+|a_{k-1}|) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k|+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_{k-1}| = \sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k|+ \sum\limits_{{k=\color{red}0 \color{black}} }^{\infty} |a_{\color{red}k\color{black}}| \leq 2 \sum\limits_{k=0}^{\infty} |a_k| \end{eqnarray*}$

durchgeführt.

Eine Indexverschiebung hatte ich vorher übrigens noch gar nicht gemacht; das hier (rot markiert) war die erste.

Ich bin eben - und das finde ich in der Aufgabenstellung schon unglücklich - mit diesem Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} b_k \end{eqnarray*}$ nicht so ganz glücklich, denn wenn man sich das erste Reihenglied anschaut, so ist das $\begin{eqnarray*} b_0 = \text{max}(a_0,a_{-1}) \end{eqnarray*}$ und was genau ist $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ ?

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