Invertierbare Matrizen

25.03.2016, 15:15	DaDiDumDiDaDum	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbare Matrizen Hallo, ich mal wieder. Gegeben sind zwei Matrizen $\begin{eqnarray} A,B\in K^{nxn} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ , K ein Körper und A invertierbar ist. Es ist zu zeigen, dass eine endliche Menge $\begin{eqnarray} M\subseteq K \end{eqnarray}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray} C_\lambda=A+\lambda B \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \lambda\in K\setminus M \end{eqnarray}$ invertierbar ist. Meine Idee dabei ist, dass man die Spalten $\begin{eqnarray} (a_i) \end{eqnarray}$ als Vektoren schreiben kann, die bei jeder invertierbaren Matrix linear unbhängig sind, also $\begin{eqnarray} <br /> a_i\neq\sum_{k\neq i}\alpha_k a_k,\forall i\in \{1,...,n\}, \alpha_k\in K<br /> \end{eqnarray}$ Also muss obige Gleichung auch für $\begin{eqnarray} C_\lambda \end{eqnarray}$ gelten und für $\begin{eqnarray} <br /> c_i= \sum_{k}\alpha_k(a_k+\lambda b_k)<br /> \end{eqnarray}$ nicht invertierbar. Ich habe also höchsten n-Möglichkeiten (Anzahl der Spalten von A) Spalten linear Abhängig zu machen und $\begin{eqnarray} \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ Möglichkeiten Linearkombinationen von Spalten aus B zu bilden. Somit ist $\begin{eqnarray} \vert M\vert\leq \frac{n^2(n+1)}{2} \end{eqnarray}$ . Die Existenz der Menge M folgt aus $\begin{eqnarray} M=\{0\} \end{eqnarray}$ für alle Matrizen B. Lieg ich damit komplett falsch oder bin ich auf dem richtigen Weg? Viele Grüße
25.03.2016, 21:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbare Matrizen Weißt du, was Eigenwerte sind?
25.03.2016, 22:22	DaDiDumDiDaDum	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher. Wendet man eine Abbildung auf einen Vektor an und ändert die Abbildung die Richtung des Vektors nicht, ist dies ein Eigenvektor. Die Streckung des Vektors sind die Eigenwerte. Ok, neue Überlegung $\begin{eqnarray} C_{\lambda} \end{eqnarray}$ ist nicht invertierbar, wenn die Determinante von $\begin{eqnarray} C_{\lambda}=0 \end{eqnarray}$ ist. Also insbesondere für $\begin{eqnarray} \det (C_\lambda-\alpha E)=0 \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ Eigenwert ist. Somit ist M die Menge der Eigenwerte, wenn ich das richtig verstehe, mit $\begin{eqnarray} <br /> \det(A+\lambda B E-\alpha E)=0<br /> \end{eqnarray}$ Das obige charakteristische Polynom hat ja höchstens n und mindestens eine Lösung, nämlich $\begin{eqnarray} <br /> \alpha = 0<br /> \lambda = -1<br /> B=A<br /> \end{eqnarray}$ Komm ich damit der Sache schon näher? PS.: Danke für deine Geduld
25.03.2016, 22:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte eher an $\begin{eqnarray} A+\lambda B=\lambda A(\frac 1 \lambda I + A^{-1}B) \end{eqnarray}$

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