Alle Lösungen einer quadratische Kongruenz finden

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Hibou90 Auf diesen Beitrag antworten »
Alle Lösungen einer quadratische Kongruenz finden
Meine Frage:


Es sollen für alpha = 1,2 alle ganzzahligen Lösungen der quadratischen Kongruenz bestimmt werden.




Meine Ideen:
Für den Fall alpha = 1 habe ich die -2 auf die andere Seite der Kongruenzgleichung gebracht und zu allen Zahlen zwischen 0 und 6 die Quadrate modulo 7 betrachtet. Ich erhalte dann [3] und [4] als Restklassen modulo 7, die quadriert 2 ergeben. Alle ganzzahligen Lösungen sind dann: {[x]+7z : [x]=[3] oder [4] aus Z/7Z und z aus Z}.

Mein Problem liegt nun beim Fall \alpha = 2. Wir hatten in der Vorlesung die Methode, die Modulo-Zahl in Primfaktoren zu zerlegen und die Kongruenzgleichung modulo jeder dieser Primfaktoren zu betrachten, in diesen Fällen wie bei ßalpha = 1 oben zu probieren, welche Restklassen mod der Primfaktoren die Gleichungen erfüllen und somit ein System simultaner linearer Kongruenzen zu erhalten, die man dann mithilfe des chinesischen Restsatzes lösen kann. Allerdings kann ich das in diesem Fall anscheinend nicht anwenden, da die Modulo-Zahl 7*7 ist und somit keine Teilerfremdheit besteht?

Da alle Lösungen der Kongruenz mod 49 auch Lösungen der Kongruenz mod 7 sein müssen, habe ich mir noch folgenden Ansatz überlegt, wobei a [3] oder [4] mod 7 ist:



Nun multipliziere ich die binomische Formel auf der linken Seite aus:



Da wir modulo 7² rechnen, ist ein Summand auf der linken Seite [0]:



Nun stelle ich um und wähle zunächst a=3:



Und fasse 9 und -2 zusammen und bringe das Ergebnis auf die andere Seite:



Ich teile durch 7, da 14 und 49 nicht teilerfremd sind, auch die Modulo-Zahl 49 durch 49:ggt(49,7):



Nun habe ich mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus das Inverse von 2 modulo 7 bestimmt und [-3]=[4] erhalten, so dass ich erhalte:



Für den Fall a=4 würde ich dann genauso vorgehen. Allerdings habe ich die Kongruenzgleichung auch bei Wolframalpha eingegeben und dort als Lösungen mod 49 [10] und [39] erhalten. Kann mir jemand sagen, wo bei meiner Lösung der Wurm drin ist oder wie man alternativ vorgehen kann?

Liebe Grüße
Hibou90
tatmas Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die binomische Formel nicht richtig angewandt.
Mittelterm der zweiten Gleichung ist 14az
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