Folgen Konvergenz

25.03.2016, 19:36

Alina H.

Folgen Konvergenz

Meine Frage:
Hallo liebe Community,

es geht um Folgenkonvergenz und ich wollte mal nachfragen, ob mir jemand eine Vorgehensweise geben kann, wie man bei folgender Aufgabe vorgeht:

Zeigen Sie, dass von den Folgen (an) und (bn) genau eine gg. 1 konvergiert:

1) $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{sin(n)+cos(n)}{3n} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{ln(n+1)}{ln(n)} \end{eqnarray*}$ für n=2,3,...

Meine Ideen:
Vielmehr geht's mir darum, wie man hier sofort sehen kann, dass eine Folge gg. 1 konvergiert.

Über jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar smile

25.03.2016, 19:47

Musican

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Hallo Alina!

Ich habe mich noch nicht in allen Einzelheiten mit den Folgen auseinandergesetzt, aber es gibt ja bekannterweise mehrere Vorgehensweisen, wie man die Konvergenz von Folgen und/oder deren Grenzwert zeigt. Zweiteres zeigt man häufig mit den Grenzwertsätzen, die ihr sicher gezeigt bekommen habt.

Was zum Beispiel bei deiner ersten Folge schonmal auffällt, wenn du dir den Zähler anschaust, ist, dass

$\begin{eqnarray*} -1 \leq sin(n) \leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Analog gilt das für den cosinus. Die Terme deines Zählers sind also beschränkt. Bei größer werdendem n können sie nicht aus ihren Schranken "springen".
Im Nenner allerdings steht etwas, das bei wachsendem n immer größer wird. nämlich 3n. Was sagt uns das nun also?
Wenn du solche Folgen hast, hilft mir zumindest immer, wenn du dir erst einmal anschaust, was für Werte die einzelnen Terme überhaupt maximal bzw. minimal annehmen können.

ich hoffe das hilft dir schonmal etwas. verwirrt

Lieben Gruß Freude

25.03.2016, 19:54

Alina H.

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Hey ja danke das hilft schon mal zur Vorgehensweise. Jetzt wo du es mir deutlich gemacht hast, wird es natürlich auch für mich klarer Hammer

. Vielen Dank schonmal

Hat jemand noch weitere Tipps? smile

25.03.2016, 20:01

Mulder

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RE: Folgen Konvergenz

Zitat:

Original von Alina H.
Vielmehr geht's mir darum, wie man hier sofort sehen kann, dass eine Folge gg. 1 konvergiert.

Dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, sieht man sofort, siehe Musicans Ausführungen.

Und dass $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert, kann man sich auch sofort klar machen, wenn man den Verlauf des Logarithmus' einigermaßen im Kopf hat. Der steigt zwar immer weiter an, aber er steigt immer langsamer, je größer n wird. Für hinreichend große n ist also natürlich $\begin{eqnarray*} \ln(n+1) \approx \ln(n) \end{eqnarray*}$ .

Du siehst ja, dass der Verlauf immer flacher wird. Beweisen könnte man das z.B. mit dem Sandwichkriterium, nachdem man zuvor

$\begin{eqnarray*} \frac{\ln(n+1)}{\ln(n)} = \frac{\ln(n) + \ln \left ( \frac{n+1}{n} \right )}{\ln(n)} = 1 + \frac{\ln \left ( \frac{n+1}{n} \right )}{\ln(n)} \end{eqnarray*}$

benutzt hat.

25.03.2016, 20:47

Musican

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Außerdem könntest du, wenn du einen Grenzwert vermutest, aber nur dann (bei bn ist dies ja der Fall. Du vermutest nämlich der Grenzwert ist 1)
das Epsilon-Kriterium zum Beweis benutzen :-)

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