Modularitätssatz - Taniyama-Shimura

26.03.2016, 18:05

TomS

Modularitätssatz - Taniyama-Shimura

Ich versuche gerade, mir einen Überblick zum Modularitätssatz zu verschaffen. Dabei steht ich vor dem Problem, dass ich verschiedene Versionen finde, nicht jedoch deren den Zusammengang.

1) für L-Reihen

Gegeben sei eine elliptische Funktion E über den rationalen Zahlen Q mit Diskriminante Delta sowie den Felder F_p (d.h. mod Primzahl p, die Delta nicht teilen).

$\begin{eqnarray*} E: y^2 = 4x^3 - Ax -B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Delta = A^3 - 27B \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall p \nmid \Delta: \mathbb{F}_p, E(\mathbb{F}_p) \end{eqnarray*}$

Dann definiert die Anzahl der rationalen Punkte von E(F_p) die Zahlen a_p (hier finde ich verschiedene Definitionen bzw. Spezialfälle). Daraus folgt nun eine L-Reihe zu E, dargestellt als Eulerprodukt, das aber einen komplizierteren Nenner hat als üblich.

$\begin{eqnarray*} 1 - a_p + p = \nu[E(\mathbb{F}_p)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_E(s) = \prod_{p \nmid \Delta} \frac{1}{1 - a_p p^{-s} + p^{1-2s}} \end{eqnarray*}$

Gegeben sei außerdem eine modulare Form f(z) vom Gewicht 2 mit Level N. Für diese existiert eine Fourier-Reihe in q. Daraus wiederum folgt eine L-Reihe zu f.

$\begin{eqnarray*} q = e^{2\pi i z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_n a_n q^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_f(s) = \sum_n \frac{a_n}{n^s} \end{eqnarray*}$

Der Modularitätssatz besagt nun, dass für jedes elliptische Funktion über den rationalen Zahlen eine modulare Form mit Gewicht 2 existiert, so dass die o.g. L-Reihen übereinstimmen.

2) für eine modulare Form zu einer elliptischen Funktion

Man definiert zu den o.g. a_p neue Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} a_n = \prod_j a_{p_j}^{n_j} \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} q = e^{2\pi i z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z) = \sum_n a_n q^n \end{eqnarray*}$

Dann besagt der Modularitätssatz, dass die so definierte Funktion f(z) eine modulare Form ist.

3) für eine Parametrisierung der elliptischen Funktion mittels modularer Funktionen

Zu dieser Form der Taniyama-Shimura Conjecture finde ich leider nirgendwo irgendwelche Herleitungen. Sie stammt aus MathWorld. Die Aussage lautet einfach, dass zu einer gegebenen elliptischen Funktion

$\begin{eqnarray*} E: y^2 = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D \end{eqnarray*}$

über den rationalen Zahlen zwei modulare Funktionen f(z), g(z) mit dem selben Level N existieren, so dass

$\begin{eqnarray*} f^2(z) = A\,g^3(z) + C\,g(z) + D \end{eqnarray*}$

Diese Aussage erinnert an die Parametrisierung des Kreises (allgemeiner: Quadriken) mittels (komplexer) Winkelfunktionen.

Fragen: kennt jemand eine Quelle, die den Zusammenhang zwischen (1), (2) und (3) erläutert? kennt jemand insbs. eine Quelle, in der (3) näher diskutiert wird?

26.03.2016, 18:38

tatmas

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Hallo,

ein paar kurze Anmerkung:
Die Übersetzung des englischen field in deisem Kontext ist nicht Feld, sondern Körper.

Die Def. von $$a_p$$ ist auch nach Fällen unterschieden. einmal die Definition im Fall guter Reduktion, und je nach Art schlechter Reduktion.

Buchempfehlung:
A First Course in Modular Forms von Diamond und Shurman.
Das erklärt gerade die Zusammenhänge verschiedener Formulierungen des Modularitätssatzes.

Allerdings ist der Name etwas optimistisch, Vorwissen ist durchaus nötig.

26.03.2016, 20:10

Toms

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Zitat:

Die Übersetzung des englischen field in deisem Kontext ist nicht Feld, sondern Körper.

OK, ich konnte eh' keinen Unterschied erkennen :-)

Zitat:

Die Def. von $$a_p$$ ist auch nach Fällen unterschieden. einmal die Definition im Fall guter Reduktion, und je nach Art schlechter Reduktion.

Genau das meinte ich. Dann war eine Zusammenfassung, die ich gelesen habe, unpräzise.

Zitat:

A First Course in Modular Forms von Diamond und Shurman.
Das erklärt gerade die Zusammenhänge verschiedener Formulierungen des Modularitätssatzes.

Danke!

26.03.2016, 20:16

tatmas

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Zitat:

OK, ich konnte eh' keinen Unterschied erkennen :-)

Seriously? Wenn du nicht weißt was ein Körper ist, ist dieses Thema viel zu hoch für dich.
Algebra I + II ist ein absolutes Muss.
Ebenso Funktionentheorie.
Und grundlegende algebraische Geometrie, kommutative Algebra, Zahlentheorie (alg. + analyt.) schadet auch nicht.

26.03.2016, 22:12

Toms

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Zitat:

Original von tatmas

Zitat:

OK, ich konnte eh' keinen Unterschied erkennen :-)

Seriously? Wenn du nicht weißt was ein Körper ist, ist dieses Thema viel zu hoch für dich.

Ich konnte den Unterschied zwischen einem Körper (kenne ich) und dem "Feld" (kannte ich nicht) erkennen - und es gibt ja auch keinen ;-) War eine Begriffsverwirrung.

Zitat:

Algebra I + II ist ein absolutes Muss.
Ebenso Funktionentheorie.
Und grundlegende algebraische Geometrie, kommutative Algebra, Zahlentheorie (alg. + analyt.) schadet auch nicht.

Ich habe theoretische Physik studiert mit Mathe Nebenfach (Funktionentheorie, Funktionalanalysis); im Rahmen der Quantenfeldtheorie habe ich mich insbs. mit Liegruppen und topologischen Methoden befasst (Bündel, charakteristische Klassen, ...) ... wird also schon klappen, auch wenn ich mal ein paar Fachausdrücke nicht sofort erkenne :-)

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